Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.

Twierdzenie

Równanie

$a^x-b^y=1,$

gdzie $a,x,b,y$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: $a=3,$ $x=2,$ $b=2,$ $y=3.$ Równanie to jest znane jako równanie Catalana.

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest $8=2^3$ i $9=3^2.$

Przypadek szczególny

Jedynym rozwiązaniem równania postaci $2^a=(2k+1{)}^b\pm 1,$ gdzie $a>1,b>1,k>0$ jest $k=1,a=3,b=2$ (np. $2^3=3^2-1$).

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-03].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-18].