Twierdzenie Kirszbrauna

Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae”. Kirszbraun udowodnił przedstawione niżej twierdzenie dla odwzorowań spełniających warunek Lipschitza, które działają pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi. Przedstawiony niżej przypadek ogólny dla przestrzeni Hilberta pochodzi od Valentine’a.

Twierdzenie

Niech $H$ i $K$ będą rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta oraz niech $U\subseteq H$ będzie niepustym zbiorem. Każda funkcja $f:U\to K,$ spełniająca warunek Lipschitza ze stałą $L$ może być przedłużona do funkcji $F:H\to K,$ która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą.

Wersja twierdzenia w przypadku gdy przeciwdziedziną są liczby rzeczywiste

W przypadku, gdy $(X,d)$ jest dowolną przestrzenią metryczną, a $U\subseteq X$ jest niepustym podzbiorem, każdą funkcję $f:U\to ℝ,$ spełniająca warunek Lipschitza ze stałą $L$ można przedłużyć do funkcji $F:X\to ℝ,$ która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą. Istotnie, funkcja dana wzorem

$F(x)=\underset{y\in U}{\inf }\{f(y)+L\cdot d(x,y)\}(x\in X)$

jest takim właśnie przedłużeniemSzablon:Odn.

Uogólnienia

Lang i Schroeder rozszerzyli twierdzenie Kirszbrauna na przestrzenie metryczne spełniające górne bądź dolne ograniczenia krzywizny w sensie Aleksandrowa.

Bibliografia

• A.V. Akopyan, A.S. Tarasov, A constructive proof of Kirszbraun’s theorem (Russian), Mat. Zametki 84 (2008), no. 5, 781-784; translation in Math. Notes 84 (2008), no. 5–6, 725–728.
• Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press, 1995.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Kirszbraun theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-15].