Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy

Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy – twierdzenie teorii równań funkcyjnych będące (częściową) odpowiedzią na poniższy problem Ulama.

Problem Ulama

Niech $G_1$ będzie grupą i niech $G_2$ będzie grupą z określoną w niej metryką $d.$ Czy jeżeli dla każdego $\epsilon >0$ istnieje $\delta >0$ takie, że jeśli odwzorowanie $h:G_1\to G_2,$ spełnia warunek

$d(h(xy),h(x)h(y))<\delta$ dla $x,y\in G_1,$

to istnieje homomorfizm $H:G_1\to G_2$ spełniający warunek

$d(h(x),H(x))<\epsilon$ dla $x\in G_1$?

Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy

Niech $E$ będzie rzeczywistą przestrzenią unormowaną oraz $F$ rzeczywistą przestrzenią Banacha. Jeśli $f:E\to F$ spełnia warunek

$\underset{p\in [0,\mathrm{\infty })\setminus \{1\}}{\bigvee }\underset{x,y\in E}{\bigwedge }\Vert f(x+y)-f(x)-f(y){\Vert }_F⩽\theta (\Vert x{\Vert }_E^p+\Vert y{\Vert }_E^p),$

to istnieje dokładnie jedna addytywna funkcja $c:E\to F,$ że

$\Vert f(x)-c(x){\Vert }_F⩽\frac{2\theta }{|2-2^p|}\Vert x{\Vert }_E^p$ dla $x\in E.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę