Twierdzenie Hartogsa (analiza zespolona)

Twierdzenie Hartogsa – w analizie zespolonej, twierdzenie mówiące o ciągłości funkcji wielu zmiennych zespolonych, która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych. Dokładniej, twierdzenie to mówi, że

każda funkcja $f:{ℂ}^n\to ℂ,$ która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, jest ciągła.

Twierdzenie to udowodnione zostało przez Friedricha Hartogsa w 1906. Twierdzenie to nie ma odpowiednika w teorii rzeczywistych funkcji analitycznych funkcji wielu zmiennych. Istotnie, funkcja $f:{ℝ}^2\to ℝ,$ dana wzorem

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$

jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, ale nie jest ciągła.

Bibliografia

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.