Twierdzenie Erdősa-Rado

Szablon:Nie mylić z Twierdzenie Erdősa-Rado – twierdzenie udowodnione przez Paula Erdősa i Richarda Rado będące rozszerzeniem twierdzenia Ramseya na zbiory odpowiednio dużej mocy.

Notacja

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• Indukcyjnie definiuje się

${\exp }_0(\kappa )=\kappa ,$

${\exp }_r(\kappa )=2^{{\exp }_{r-1}(\kappa )}(r=1,2,3,\dots ).$

• Symbol ${\kappa }^{+}$ oznacza następnik liczby kardynalnej $\kappa .$

Twierdzenie

Niech $r$ będzie liczą naturalną oraz niech $\kappa$ będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Wówczas zachodzi relacja podziałowa

${\exp }_r(\kappa {)}^{+}⟶({\kappa }^{+}{)}_{\kappa }^{r+1},$

tzn. dla każdego kolorowania $f$ rodziny $(r+1)$-elementowych podzbiorów zbioru mocy ${\exp }_r(\kappa {)}^{+}$ na $\kappa$ kolorów istnieje zbiór monochromatyczny mocy ${\kappa }^{+},$ tj. taka podrodzina rodziny $(r+1)$-elementowych podzbiorów zbioru mocy ${\exp }_r(\kappa {)}^{+},$ na której funkcja $f$ jest stała.