Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia

Załóżmy, że $U_1,U_2,\dots ,U_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

$\sum _{i=1}^n{U}_i^2=Q_1+\dots +Q_k,$

gdzie $Q_i$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U_i,$ takimi że

$r_i+\dots +r_k=n,$

gdzie $r_i$ są rzędami $Q_i.$

Teza

Zmienne $Q_i$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z $r_i$ stopniami swobody.

Przykład

Jeśli $X_1,\dots ,X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma ,$ wtedy

$U_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego $i.$

Możemy zapisać:

$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i+\bar{X}-\bar{X}-\mu {)}^2=$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2+\sum _{i=1}^n(\bar{X}-\mu {)}^2+2\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})(\bar{X}-\mu ).$

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}),$

natomiast drugi składnik jest sumą $n$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez ${\sigma }^2,$ otrzymujemy:

$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2=Q_1+Q_2.$

Ranga $Q_2$ wynosi $1$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga $Q_1$ być z kolei obliczona jako $n-1.$

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że $Q_1$ i $Q_2$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład ${\chi }^2$ ze stopniami swobody odpowiednio $n-1$ i $1.$

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$(\bar{X}-\mu {)}^2\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_1^2.$

Jako estymatora wariancji ${\sigma }^2$ używa się często:

$\widehat{{\sigma }^2}=\frac{1}{n}\sum {(X_i-\bar{X})}^2.$

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

$\widehat{{\sigma }^2}\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_{n-1}^2,$

z czego wynika, że wartością oczekiwaną $\widehat{{\sigma }^2}$ jest $\frac{{\sigma }^{2}n}{n-1}.$

Zobacz też

• analiza wariancji
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• twierdzenie Fishera