Twierdzenie Caseya

Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya Szablon:Odn.

Wypowiedź twierdzenia

Niech

O

będzie okręgiem o promieniu

R .

Niech

O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}

będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu

O .

Oznaczmy przez

t_{i j}

długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów

O_{i}, O_{j} .

Wtedy zachodziSzablon:Odn:

Szablon:Wzór

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.

Dowód

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy ZachariasaSzablon:Odn Szablon:Odn. Oznaczmy promień okręgu $O_{i}$ przez $R_{i},$ a jego punkt styczności z okręgiem $O$ przez $K_{i} .$ Środki okręgów będziemy oznaczali przez $O$ oraz $O_{i} .$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

Szablon:Wzór

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów $K_{i}, K_{j},$ by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta $O_{i} O O_{j}$ wynika, że

Szablon:Wzór

Ponieważ okręgi $O, O_{i}$ są do siebie styczne, zachodzi

∠ O_{i} O O_{j} = ∠ K_{i} O K_{j},

a ponieważ są styczne wewnętrznie

\overline{O O_{i}} = R - R_{i} .

Łatwo również zauważyć, że kąty $∠ K_{i} C K_{j}$ i $∠ K_{i} O K_{j}$ to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku $K_{i} K_{j} .$ Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

∠ K_{i} C K_{j} = 2 ∠ K_{i} O K_{j}

Niech $C$ będzie punktem na okręgu $O .$ Z twierdzenia sinusów w trójkącie $K_{i} C K_{j} :$

\overline{K_{i} K_{j}} = 2 R \cdot \sin ∠ K_{i} C K_{j} = 2 R \cdot \sin \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2}

Zatem

\cos ∠ K_{i} O K_{j} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2} = 1 - 2 \cdot {(\frac{\overline{K_{i} K_{j}}}{2 R})}^{2} = 1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}}

podstawiając je do wzoru Szablon:LinkWzór:

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) (1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}})

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = ((R - R_{i}) - (R - R_{j}))^{2} + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R_{i} - R_{j})^{2} + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

Ostatecznie, długość której szukamy, to

Szablon:Wzór

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania Szablon:LinkWzór; wymnażając wartości $t_{i j}$ oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta $K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}$ otrzymujemy:

\begin{matrix} t_{12} t_{34} + t_{14} t_{23} \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{2}} \cdot \overline{K_{3} K_{4}} + \overline{K_{1} K_{4}} \cdot \overline{K_{2} K_{3}}) \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{3}} \cdot \overline{K_{2} K_{4}}) \\ = & t_{13} t_{24}, \end{matrix}

co było do okazania.

Uogólnienia i uwagi

Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznieSzablon:Odn:

Jeśli

O_{i}, O_{j}

są oba styczne z tej samej strony

O

(tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to

t_{i j}

jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Jeśli zaś

O_{i}, O_{j}

są styczne z różnych stron

O

(jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to

t_{i j}

jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg $O_{i}$ jest styczny zewnętrznie do $O,$ to oczywiście

\overline{O O_{i}} = R + R_{i} .

Oprócz tego, gdy $O_{i}, O_{j}$ są styczne po przeciwnych stronach okręgu $O$ (ponownie załóżmy, że $O_{i}$ jest styczny zewnętrznie, a $O_{j}$ wewnętrznie), to długość odcinka $t_{i j}$ Szablon:LinkWzór spełnia wtedy zależność

t_{i j}^{2} = \overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} + R_{j})^{2},

co po analogicznych przekształceniach daje

t_{i j} = \frac{\sqrt{R + R_{i}} \cdot \sqrt{R - R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R} .

Gdy z kolei oba okręgi $O_{i}, O_{j}$ są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność Szablon:LinkWzór, a jego długość wynosi

t_{i j} = \frac{\sqrt{R + R_{i}} \cdot \sqrt{R + R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R} .

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów $O_{i}, O_{j},$ stycznych, w tej kolejności, do $O$ w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka $t_{i j}$ Szablon:LinkWzór wynosi

t_{i j} = \frac{\sqrt{R \pm R_{i}} \cdot \sqrt{R \pm R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R},

gdzie znak w wyrażeniach $R \pm R_{i}$ zależy od tego, czy okrąg $O_{i}$ jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

Twierdzenie odwrotne

Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość Szablon:LinkWzór, to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenieSzablon:Odn Szablon:Odn:

Niech dane będą cztery okręgi

O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} .

Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych)

t_{i j}

pomiędzy okręgami

O_{i}, O_{j}

zachodzi

Szablon:Wzór

wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu

O .

Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w Szablon:LinkWzór określa jak okręgi te są styczne:

jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ są styczne w ten sam sposób do $O$ (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
jeśli okręgi $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu $O .$

Zastosowania

Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia CaseyaSzablon:Odn Szablon:Odn. Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 rokuSzablon:Odn Szablon:Odn.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:MathWorld

Szablon:Okręgi

Twierdzenie Caseya

Spis treści

Wypowiedź twierdzenia

Dowód

Uogólnienia i uwagi

Twierdzenie odwrotne

Zastosowania

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Twierdzenie Caseya

Wypowiedź twierdzenia

Dowód

Uogólnienia i uwagi

Twierdzenie odwrotne

Zastosowania

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj