Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego

Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego – twierdzenia związane z fundamentalnymi ograniczeniami ewolucji kwantowej. W mechanice kwantowej określają minimalny czas konieczny, aby układ kwantowy mógł w drodze unitarnej ewolucji przejść pomiędzy dwoma ortogonalnymi stanami kwantowymi, znane również jako kwantowe ograniczenia prędkości.

Rozważmy wstępny, czysty stan kwantowy wyrażony jako superpozycja energetycznych stanów własnych

$|\psi (0)⟩=\sum _n{c}_n|E_n⟩.$

Jeżeli stan $|\psi (0)⟩$ będzie ewoluował przez okres $\delta t$ zgodnie z równaniem Schrödingera stanie się stanem

$|\psi (\delta t)⟩=\sum _n{c}_n{e}^{-i\frac{E_n\delta t}{\hslash }}|E_n⟩,$

gdzie $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ jest zredukowaną stałą Plancka a $i$ jest jednostką urojoną.

Jeżeli wstępny stan kwantowy $|\psi (0)⟩$ jest ortogonalny do stanu po ewolucji $|\psi (\delta t)⟩,$ wówczas $⟨\psi (0)|\psi (\delta t)⟩=0$ a minimalny okres $\delta t_{\perp }$ konieczny do zapewnienia tego warunku jest nazywany interwałem bądź czasem ortogonalizacji.

Twierdzenie Mandelstama-Tamma

Zgodnie z twierdzeniem Mandelstama-Tamma

$\delta E\delta t_{\perp }⩾\hslash \frac{\pi }{2}$,

gdzie

$(\delta E{)}^2=⟨\psi |H^2|\psi ⟩-(⟨\psi |H|\psi ⟩{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2(E_n-E_m{)}^2$

jest wariancją energii układu a $H$ jest operatorem Hamiltona. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Leonida Mandelstama i Igora Tamma.

Dowód Szukamy najkrótszego interwału $\delta t_{\perp }$ takiego, aby

$|S(\delta t_{\perp }){|}^2=|⟨\psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })⟩{|}^2=0$.

Korzystając z wzoru Eulera i faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą mamy

$\begin{array}{cc}|S(\delta t){|}^2& =|⟨\psi (0)|\psi (\delta t)⟩{|}^2=\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2{e}^{-i\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)}=\\ & =\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2\cos \left(\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)\right)\end{array}$.

Zauważamy, że

$\begin{array}{cc}|S(\delta t){|}^2& ⩾1-\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)\sin \left(\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)\right)\\ & -\frac{2}{{\pi }^2}\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2{\left(\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)\right)}^2\end{array}$,

ponieważ $\cos (x)⩾1-\frac{4}{{\pi }^2}x\sin (x)-\frac{2}{{\pi }^2}{x}^2,$ $\mathrm{\forall }x\in ℝ$. Zauważamy, że

$\frac{d|S(\delta t){|}^2}{d\delta t}=-\sum _{n,m}|c_n{|}^2|c_m{|}^2\sin \left(\frac{\delta t}{\hslash }(E_n-E_m)\right)\frac{E_n-E_m}{\hslash }$.

Tym samym

$|S(\delta t){|}^2⩾1+\frac{4}{{\pi }^2}\delta t\frac{d|S(\delta t){|}^2}{d\delta t}-\frac{1}{{\pi }^2}{\left(\frac{2\delta t}{\hslash }\delta E\right)}^2$.

Ponieważ $|S(\delta t){|}^2⩾0$ więc $\frac{d|S(\delta t){|}^2}{d\delta t}=0$ jeżeli $S(\delta t)=0.$ zatem drugi wyraz zanika dla $\delta t=\delta t_{\perp }$ oraz

$0⩾1-\frac{1}{{\pi }^2}\frac{4\delta t_{\perp }^2}{{\hslash }^2}{\left(\delta E\right)}^2$.

Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit

$|{\psi }_q⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|E_1⟩)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $|E_0⟩=|0⟩$ oraz $|E_1⟩$.

Dowód Wymagamy, aby $\cos (x)=1-\frac{4}{{\pi }^2}x\sin (x)-\frac{2}{{\pi }^2}{x}^2$, czyli $x=0$ lub $x=\pm \pi$. Tym samym

$\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }(E_n-E_m)=0\text{lub}\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }(E_n-E_m)=\pm \pi \mathrm{\forall }n,m,c_n\ne 0,c_m\ne 0$,

co zachodzi jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych $E_0=0$ oraz $E_1=\pm \frac{\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}$, czyli dla stanu

$|{\psi }_q⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^{i{\phi }_0}|0⟩+e^{i{\phi }_1}|\pm \frac{\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}⟩)$

unikalnego z wyłączeniem degeneracji energii $E_1$ oraz dowolnych współczynników fazowych ${\phi }_0$ i ${\phi }_1$ stanów własnych.

Twierdzenie Margolusa–Levitina

Zgodnie z twierdzeniem Margolusa–Levitina

$E_{avg}\delta t_{\perp }⩾\hslash \frac{\pi }{2}$,

gdzie

$E_{avg}=⟨\psi |H|\psi ⟩=\sum _n|c_n{|}^2{E}_n$

jest średnią energią układu a $H$ jest operatorem operatorem Hamiltona. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Normana Margolusa i Lwa Levitina.

Wykresy zależności trygonometrycznych zastosowanych w nierównościach twierdzeń Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina

Dowód Szukamy najkrótszego interwału $\delta t_{\perp }$ takiego, że

$S(\delta t_{\perp })=⟨\psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })⟩=\sum _n|c_n{|}^2{e}^{-i\frac{E_n\delta t_{\perp }}{\hslash }}=0$.

Zauważamy, że

$\begin{array}{cc}\text{Re}(S(\delta t))& =\sum _n|c_n{|}^2\cos \left(\frac{E_n\delta t}{\hslash }\right)⩾\\ & ⩾\sum _n|c_n{|}^2(1-\frac{2}{\pi }\frac{E_n\delta t}{\hslash }-\frac{2}{\pi }\sin \left(\frac{E_n\delta t}{\hslash }\right))=\\ & =\sum _n|c_n{|}^2-\frac{2\delta t}{\pi \hslash }\sum _n|c_n{|}^2{E}_n-\frac{2}{\pi }\sum _n|c_n{|}^2\sin \left(\frac{E_n\delta t}{\hslash }\right)=\\ & =1-\frac{2\delta t}{\pi \hslash }{E}_{avg}+\frac{2}{\pi }\text{Im}(S(\delta t))\end{array}$,

gdyż $\cos (x)⩾1-\frac{2}{\pi }x-\frac{2}{\pi }\sin (x),\mathrm{\forall }x⩾0$. Ponieważ $S(\delta t_{\perp })=0$ wymaga $\text{Re}(S(\delta t_{\perp }))=\text{Im}(S(\delta t_{\perp }))=0$ zatem

$0⩾1-\frac{2}{\pi }\frac{E_{avg}\delta t_{\perp }}{\hslash }$.

Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit

$|{\psi }_q⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|E_1⟩)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $|E_0⟩=|0⟩$ oraz $|E_1⟩$.

Dowód Wymagamy, aby $\cos (x)=1-\frac{2}{\pi }(x+\sin (x))$ co zachodzi dla $x=0$ or $x=\pi$, czyli jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych

$\frac{E_n\delta t_{\perp }}{\hslash }=0\text{lub}\frac{E_n\delta t_{\perp }}{\hslash }=\pi \mathrm{\forall }n,c_n\ne 0$.

Zatem $E_0=0$ oraz $E_1=\frac{\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}$, a jedynym stanem, który to zapewnia jest kubit

$|{\psi }_q⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^{i{\phi }_0}|0⟩+e^{i{\phi }_1}|\frac{\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}⟩)$

o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych $|E_0⟩$ i $|E_1⟩$ unikalny z wyłączeniem degeneracji energii $E_1$ oraz dowolnych współczynników fazowych ${\phi }_0$ i ${\phi }_1$ stanów własnych.

Inne Powiązane Twierdzenia

Twierdzenia powiązane z twierdzeniami Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina zostały udowodnione w 2009 przez Lwa Levitina i Tommaso Toffoliego.

Twierdzenie

W przypadku, gdy $E_{avg}\ne \delta E$ interwał ortogonalizacji spełnia

$\delta t_{\perp }⩽\frac{\pi \hslash (1+e^{\ln \left|\frac{\delta E}{E_{avg}}\right|})}{2E_{avg}(1+\frac{\delta E}{E_{avg}})}(1+ϵ)=\frac{\pi \hslash }{2E_{avg}}(1+ϵ),\mathrm{\forall }ϵ>0$.

Twierdzenie

Dla każdego stanu kwantowego $|\psi ⟩$ zachodzi

$\frac{E_{max}}{4}<E_{avg}⩽\frac{E_{max}}{2}$,

gdzie $E_{max}$ jest maksymalną wartością własną tego stanu oraz

$\pi \hslash ⩽E_{max}\delta t_{\perp }<2\pi \hslash$.

Dowód Niech

$S(\delta t_{\perp })=⟨\psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })⟩=\sum _n|c_n{|}^2{e}^{-i\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }{E}_n}=0$.

Załóżmy a contrario, że $E_{max}>\frac{2\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}$. Możemy zdefiniować $E_l\doteq E_{max}-\frac{2\pi \hslash }{\delta t_{\perp }}>0$. Ale wówczas

$e^{-i\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }{E}_l}=e^{-i\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }{E}_{max}}{e}^{2\pi i}=e^{-i\frac{\delta t_{\perp }}{\hslash }{E}_{max}}$.

Zatem zamiana $E_{max}$ na $E_l>E_{max}$ nie zmienia $S(\delta t_{\perp })$, a tym samym zbiór wartości własnych energii jest ograniczony od góry. Aby udowodnić istnienie kresu dolnego na $E_{max}$, niech średnią energią będzie $E_{avg}^{(1)}$. Zauważamy, że zamiana poziomów energii $E_n$ w $S(\delta t_{\perp })$ na $E_{max}-E_n$ nie ma wpływu na ich ważność. Ale po takiej zamianie, średnia energia to $E_{avg}^{(2)}=E_{max}-E_{avg}^{(1)}$ i możemy wybrać $E_{avg}=\min (E_{avg}^{(1)},E_{avg}^{(2)})$. Zatem $E_{avg}⩽\frac{E_{max}}{2}$. Wykorzystanie kresu na $E_{avg}$ z twierdzenia Margolusa–Levitina kończy dowód.

Ponadto

$\pi \hslash =E_{max}\delta t_{\perp }$

dla kubitu

$|{\psi }_q⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|E_{max}⟩)$

o zrównoważonej superpozycji.

Dowód Jeżeli $\delta t_{\perp }=\frac{\pi \hslash }{E_{max}}$ wówczas

$S(\delta t_{\perp })=\sum _n|c_n{|}^2{e}^{-i\pi \frac{E_n}{E_{max}}}=\sum _n|c_n{|}^2(\cos \left(\pi \frac{E_n}{E_{max}}\right)-i\sin \left(\pi \frac{E_n}{E_{max}}\right))=0$,

co zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $E_0=0$, $E_1=E_{max}=\frac{\pi \hslash }{\delta t_{\perp }},$ oraz $|c_0{|}^2=|c_1{|}^2=\frac{1}{2}$.

Zobacz też

• Zasada nieoznaczoności
• Zasada Landauera