Twierdzenia Mertensa

Twierdzenia Mertensa – twierdzenia dotyczące gęstości liczb pierwszych udowodnione w 1874 przez Franciszka Mertensa.

Sformułowanie

We współczesnej notacji wykorzystującej symbol Landaua twierdzenia Mertensa mogą być zapisane w postaci:

• $\sum _{p⩽x}\frac{\log p}{p}=\log x+O(1).$
• $\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+O(\frac{1}{\log x}),$

gdzie $M$ jest stałą Meissela-Mertensa.

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x\prod _{p⩽x}(1-\frac{1}{p})=e^{-\gamma },$

gdzie $\gamma$ jest stałą Eulera-Mascheroniego.

Zmiany znaku

Guy Robin udowodnił w 1983, że funkcje $\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}-\log \log x-M$ oraz $\log x\prod _{p⩽x}(1-\frac{1}{p})-e^{-\gamma }$ (związane z drugim i trzecim twierdzeniem Mertensa) zmieniają znak nieskończenie wiele razy.

Bibliografia

• F. Mertens, Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, J. reine angew. Math. 78 (1874), 46-62.
• G. Robin, Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseur. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics 38 (1983): 233–244.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].