Trygonometryczne wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$	$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$	$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$	$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$	$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$	$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
$\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\cos \alpha$	$\cos (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\sin \alpha$
$\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cos \alpha$	$\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=\sin \alpha$
$\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$	$\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$
$\sin (2\pi +\alpha )=\sin \alpha$	$\cos (2\pi +\alpha )=\cos \alpha$

Tangens i cotangens

$\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}(-\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha$
$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$
$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$
$\mathrm{tg}(\pi -\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}(\pi -\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha$
$\mathrm{tg}(\pi +\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}(\pi +\alpha )=\mathrm{ctg}\alpha$

Podawanie wzorów typu $\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha$ nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

• jeśli w argumencie jest $(x+\alpha )$ gdzie $\alpha$ jest równe np. $\frac{\pi }{2},$ $\pi ,$ $\frac{3}{2}\pi ,$ lub $2\pi ,$ to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o $\alpha$ w lewo.
• jeśli w argumencie jest $(x-\alpha )$ to przesuwamy wykres o $\alpha$ w prawo.
• jeśli w argumencie jest $(\alpha -x)$ to przesuwamy wykres o $\alpha$ w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

• Jeśli przecina ją w punkcie $y=1,$ to wynikiem jest $\cos (x)$
• Jeśli przecina ją w punkcie $y=-1,$ to wynikiem jest $-\cos (x)$
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest $\sin (x)$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $\mathrm{tg}(x)$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest $-\sin (x)$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $-\mathrm{tg}(x)$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\pi$ rośnie, to wynikiem jest $\mathrm{ctg}(x)$
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\pi$ maleje, to wynikiem jest $-\mathrm{ctg}(x)$

Przykłady zastosowania

Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

$\sin 135^{\circ }=\sin (90^{\circ }+45^{\circ })=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 210^{\circ }=\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}585^{\circ }=\mathrm{tg}(3\cdot 180^{\circ }+45^{\circ })=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

$\sin (-1035^{\circ })=-\sin 1035^{\circ }=-\sin (2\cdot 360^{\circ }+315^{\circ })=$$-\sin 315^{\circ }=-\sin (360^{\circ }-45^{\circ })=-(-\sin 45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Funkcje trygonometryczne cz. II Wzory redukcyjne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].