Transformacja Clarke i Parka

Szablon:Dopracować Są to transformacje układu współrzędnych. Przekształcenia te służą do łatwiejszego analizowania układów sterowania silników 3-fazowych oraz są wykorzystywane przy konstruowaniu falowników wektorowych.

Przekształcenie Clarke

Pierwsza transformata ma za zadanie przedstawić wypadkowy wektor prądu na którego wpływ mają trzy trójfazowe prądy wygenerowane z uzwojeń rozmieszczonych względem siebie o 120 stopni.

Silnik trójfazowy rozkład uzwojeń

I tak patrząc na rysunek powyżej składową X wirującego wektora prądu, możemy obliczyć korzystając ze schematu poniżej:

Wyliczanie składowej X prądu

zapisując to wzorem:

$i_x=i_a-i_c\cdot \cos (60)-i_b\cdot \sin (30)$

$i_x=i_a-i_c\cdot \frac{1}{2}-i_b\cdot \frac{1}{2}$

Zakładając, że suma prądów jest równa zero

$i_a+i_b+i_c=0$

$i_c=-(i_a+i_b)$

mamy

$i_x=i_a+i_a\cdot \frac{1}{2}+i_b\cdot \frac{1}{2}-i_b\cdot \frac{1}{2}$

$i_x=i_a+i_a\cdot \frac{1}{2}$

$i_x=\frac{3}{2}{i}_a$

Natomiast ten rysunek obrazuje jak wyliczyć składową Y prądu:

Wyliczanie składowej Y prądu

zapisując to wzorem:

$i_y=i_b\cdot \sin (60)-i_c\cdot \cos (30)$

$i_y=i_b\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-i_c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$i_y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (i_b-i_c)$

Podstawiając

$i_c=-(i_a+i_b)$

$i_y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (i_a+2i_b)$

Zestawienie dwóch wzorów

$i_x=\frac{3}{2}{i}_a$

$i_y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (i_a+2i_b)$

Przeskalujemy przez $\frac{2}{3}$ Daje nam następującą zależność

$i_{\alpha }=i_a$

$i_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot (i_a+2i_b)=0,577350269\cdot (i_a+2i_b)$

Znane jest pod nazwą przekształcenia (transformaty Clarke).

Przekształcenie Parka

Transformacja Parka – odwirowanie. Założymy tutaj, że znany jest nam chwilowy kąt wirującego wektora prądu wirnika. Skorzystamy z własności współrzędnych w układzie biegunowym oraz właściwości funkcji trygonometrycznych:

Odwirowanie

Ponieważ przeniesienie z jednego układu do drugiego (w układzie biegunowym) owocuje jedynie zmianą kąta wektora. Wektor w układzie oryginalnym będzie miał długość $r$ oraz kąt $\alpha .$ A wektor w układzie dq przesuniętym będzie miał długość r oraz kąt $\alpha -\theta .$

A więc nowe współrzędne d q będą równe:

$i_d=i\cdot \cos (\alpha -\theta )$

$i_q=i\cdot \sin (\alpha -\theta )$

Korzystając z wzorów na sinus różnicy kątów mamy:

$i_d=𝐢\cdot \cos (\alpha )\cos (\theta )+i\cdot \sin (\alpha )\sin (\theta )$

$i_q=i\cdot \sin (\alpha )\cos (\theta )-𝐢\cdot \cos (\alpha )\sin (\theta )$

korzystając z zależności w oryginalnym układzie współrzędnych XY:

${𝐢}_{\alpha }=i\cdot \cos (\alpha )$

$i_{\beta }=i\cdot \sin (\alpha )$

co daje nam:

$i_d=i_{\alpha }\cos (\theta )+i_{\beta }\sin (\theta )$

$i_q=i_{\beta }\cos (\theta )-i_{\alpha }\sin (\theta )$

Wzory te znane są pod nazwą przekształcenia (transformaty) Parka.

Wektor wirującego prądu tak przekształcony możemy przedstawić w postaci zespolonej:

$\underset{\_}{I_s}=i_d+j{i}_q$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Link-interwiki