Transformacja Boxa-Mullera

Transformacja Boxa-Mullera – metoda generowania liczb losowych o rozkładzie normalnym, na podstawie dwóch wartości zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale $(0,1].$

Niech $U_1$ oraz $U_2$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na $(0,1].$ Niech zmienne $R,\mathrm{\Theta }$ dane w odpowiednim układzie współrzędnych polarnych spełniają

$R^2=-2\cdot \ln U_1$

oraz

$\mathrm{\Theta }=2\pi U_2.$

(Wówczas $R,\mathrm{\Theta }$ są niezależne.) Połóżmy

$Z_1=R\cos \mathrm{\Theta }=\sqrt{-2\ln U_1}\cos (2\pi U_2)$

oraz

$Z_2=R\sin \mathrm{\Theta }=\sqrt{-2\ln U_1}\sin (2\pi U_2).$

Wówczas zmienne losowe $Z_1,Z_2$ są niezależne i o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 1.