Tożsamość Bineta-Cauchy’ego

Tożsamość Bineta-Cauchy’ego – tożsamość algebraiczna, dająca następującą równość:

$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{d}_j\right)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j\right)+\sum _{1⩽i<j⩽n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i).$

Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli $a_i=c_i$ i $b_j=d_j,$ to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.

Dowód

Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,

$\begin{array}{cc}& \sum _{1⩽i<j⩽n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)\\ =& \sum _{1⩽i<j⩽n}(a_i{c}_i{b}_j{d}_j+a_j{c}_j{b}_i{d}_i)+\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i{b}_i{d}_i\\ -& \sum _{1⩽i<j⩽n}(a_i{d}_i{b}_j{c}_j+a_j{d}_j{b}_i{c}_i)-\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i{b}_i{c}_i\end{array}$

i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy, że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy więc:

$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{c}_i{b}_j{d}_j-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{d}_i{b}_j{c}_j,$

co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie $i.$

Uogólnienie

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech $A$ będzie macierzą o wymiarach $m\times n,$ a $B$ macierzą o wymiarach $n\times m.$ Jeśli $S$ jest podzbiorem $m$-elementowym zbioru $\{1,2,\dots n\},$ to $A_S$ będzie macierzą o wymiarach $m\times m,$ której kolumny są kolumnami macierzy $A$ o indeksach ze zbioru $S,$ a $B_S$ macierzą o wymiarach $m\times m,$ której wiersze są wierszami macierzy $B$ o indeksach ze zbioru $S.$ Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy $A$ i $B$ możemy zapisać jako:

$\det (AB)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset \{1,\dots ,n\}}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B_S),$

przy czym suma przebiega po wszystkich $m$-elementowych podzbiorach zbioru $\{1,2,\dots n\}.$

Jeśli

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \dots & a_n\\ b_1& \dots & b_n\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}{c}_1& d_1\\ ⋮& ⋮\\ c_n& d_n\end{array}\right),$

to uzyskujemy tożsamość Bineta-Cauchy’ego.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].