Test istotności dla dwóch średnich

Test istotności dla dwóch średnich – test istotności, służący do wnioskowania o równości dwóch średnich w dwóch populacjach normalnych. W zależności od posiadanych informacji o porównywanych populacjach wyróżnia się trzy modele, w których można zweryfikować hipotezę $H_0:m_1=m_2,$ gdzie $m_1$ i $m_2,$ to średnie podanych populacji generalnych. Natomiast postać hipotezy alternatywnej $H_1$ decyduje o obszarze krytycznym, który może być jednostronny lub dwustronny.

Test dla znanych odchyleń standardowych

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_1,{\sigma }_1)$ i $N(m_2,{\sigma }_2),$ których odchylenia standardowe są znane. Test istotności wygląda następująco:

$u=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$

gdzie:

• $\overline{x_1},\overline{x_2}$ – średnie z prób,
• ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ – odchylenia standardowe z populacji,
• $n_1,n_2$ – liczebności prób.

W tym przypadku $u$ ma rozkład normalny $N(0,1)$ jeśli hipoteza o równości średnich jest prawdziwa.

Test dla nieznanych odchyleń standardowych, ale ${\sigma }_1={\sigma }_2$

Szablon:Osobny artykuł Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_1,{\sigma }_1)$ i $N(m_2,{\sigma }_2),$ których odchylenia standardowe nie są znane, wiemy jednak, że ${\sigma }_1={\sigma }_2.$ Test istotności wygląda następująco:

$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}},$

gdzie:

• $\overline{x_1},\overline{x_2}$ – średnie z prób,
• $s_1,s_2$ – odchylenia standardowe z prób,
• $n_1,n_2$ – liczebności prób.

Rozkład statystyki testowej $t$ jest rozkładem t-Studenta o $n_1+n_2-2$ stopniach swobody.

Test dla nieznanych odchyleń standardowych

Szablon:Osobny artykuł Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_1,{\sigma }_1)$ i $N(m_2,{\sigma }_2),$ których odchylenia standardowe nie są znane a wielkości prób są przynajmniej 30. Test istotności wygląda następująco:

$u=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}},$

gdzie:

• $\overline{x_1},\overline{x_2}$ – średnie z prób,
• $s_1,s_2$ – odchylenia standardowe z prób,
• $n_1,n_2$ – liczebności prób.

Liczba stopni swobody $\nu$ rozkładu t-Studenta związana z tą estymatą wariancji jest przybliżana za pomocą równania Welcha-Satterthwaite’a:

$\nu =\frac{{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})}^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\cdot (n_1-1)}+\frac{s_2^4}{n_2^2\cdot (n_2-1)}}\cdot$

Zobacz też

• statystyka
• test istotności
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• weryfikacja hipotez statystycznych