Teoria Nielsena

Teoria Nielsena jest działem topologicznej teorii punktów stałych. Jej podstawowe idee zostały opracowane przez duńskiego matematyka Szablon:Link-interwiki w latach dwudziestych XX wieku. Głównym jej zadaniem jest badanie minimalnej liczby punktów stałych odwzorowania $f:X\to X$ zwartej przestrzeni w siebie:

$𝑀𝐹[f]=\min \{\mathrm{\#}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(g)|g\sim f\}.$

Symbol ~ oznacza homotopię odwzorowań, zaś $\mathrm{\#}\text{Fix}(g)$ oznacza liczbę punktów stałych odwzorowania $g$. Liczba $𝑀𝐹[f]$ była bardzo trudna do obliczenia w czasach Nielsena i taką pozostała do dziś. Głównym pomysłem Nielsena jest pogrupowanie zbioru punktów stałych na klasy, które są nazwane „istotne” lub „nieistotne” w zależności od tego, czy można je „usunąć” za pomocą homotopii.

Oryginalne sformułowanie Nielsena jest równoważne następującemu: Relację równoważności definiujemy na zbiorze punktów stałych odwzorowania f na przestrzeni X.

Mówimy że punkty x oraz y są w relacji Nielsena, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje droga $\omega$ je łącząca taka, że drogi $\omega$ i $f\omega$ są homotopijne. Klasy równoważności tej relacji nazywane są klasami Nielsena odwzorowania f, a liczba klas istotnych, tzn. klas mających niezerowy indeks punktu stałego, nazywa się liczbą Nielsena i jest oznaczana $\mathit{\text{N}}(f)$.

Nielsen udowodnił że $N(f)\le 𝑀𝐹[f],$ czyniąc jego niezmiennik dobrym narzędziem do szacowania znacznie trudniejszego MF [ f ]. Prowadzi to natychmiast do:

Twierdzenie (Nielsena o punkcie stałym) Każde odwzorowanie f ma co najmniej N(f) punktów stałych.

Liczba Nielsena, ze względu na jej definicję w kategoriach indeksu punktu stałego, jest ściśle powiązana z liczbą Lefschetza. Rzeczywiście, wkrótce po początkowej pracy Nielsena, Wecken i Reidemeister połączyli te dwa niezmienniki w jedną „uogólnioną liczbę Lefschetza” (ostatnio zwaną śladem Reidemeistera).