System LTI

System LTI, czyli system liniowy niezmienniczy w czasie – system, który jest liniowy ze względu na wszystkie swoje argumenty (czyli elementy) w dowolnej chwili czasu.

Wstęp

Interpretacja pojęcia sygnału

Sygnał to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej wielkości fizycznej. Jest on zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju funkcję postaci $x(t).$ Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla każdego i dowolnego czasu $t.$ Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość $x$ tylko dla skończonej liczby czasów – przykładowo dla $t=2$ s zmierzono $x=0,001(x(2)=0,001),$ dla $t=10,8\text{ s}$ otrzymano $x=-1991(x(10,8)=-1991)$ itd. Nie można jednak zmierzyć wartości $x$ dla każdej wartości $t,$ gdyż wartości $t$ jest nieskończenie wiele.

Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób ciągły $(x(t)),$ korzysta się z wartości dyskretnych: $x[n],$ gdzie $n=0,1,2,3,\dots$ Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego dźwięku, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości $x$ natężenia dźwięku dla $n$ = 0 sekundy, $n$ = 1 sekundy, $n$ = 2 sekundy i $n$ = 3 sekundy. Zapisuje się to jako $x[n]=[9,0,-9,-18],$ skąd $x[0]=9,$ $x[1]=0,$ $x[2]=-9$ i $x[3]=-18.$

Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.

Zapis $x[n]$ (lub $x$) rozumie się po prostu jako sygnał.

Interpretacja pojęcia systemu

System w tym wypadku należy rozumieć jako dowolną fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być filtr. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:

$x[n]\underset{\text{system}}{\overset{}{\to }}y[n],$

gdzie $y$ to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, $x[n]$ i $y[n]$ to wektory, a system jest operatorem (czyli pewną macierzą).

Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:

$x[n]\underset{T\{\}}{\overset{}{\to }}y[n]=T\{x[n]\},$

gdzie $T$ oznacza system.

Pojęcia opisujące system

Liniowość systemu

Niech dany będzie sygnał postaci $a{x}_1+b{x}_2,$ gdzie $a$ i $b$ to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a $x_1$ i $x_2$ to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.

System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu $a{x}_1+b{x}_2$ w następujący sposób:

$T\{a{x}_1+b{x}_2\}=aT\{x_1\}+bT\{x_2\},$

lub analogicznie. Powyższe przekształcenie stanowi definicję liniowości.

Sekwencja jednostkowa

Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano sekwencję jednostkową o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:

$\delta [n]=\{\begin{array}{c}1,\text{ dla }n=0\\ 0,\text{ dla }n\ne 0\end{array}.$

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...].

Z powyższej definicji, sygnał δ[n – k] ma postać

$\delta [n-k]=\{\begin{array}{c}1,\text{ dla }n-k=0\text{, czyli }n=k\\ 0,\text{ dla }n-k\ne 0\text{, czyli }n\ne k\end{array}.$

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza $k$-tym ($k$ jest liczbą całkowitą).

Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał $x$ jako pewną sumę sekwencji jednostkowych:

$x[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k].$

gdzie $N$ – liczba elementów sygnału. Przykładowo:

$x[n]=[9,0,-9,-18],$

$x[n]=9\cdot [1,0,0,0]+0\cdot [0,1,0,0]+(-9)\cdot [0,0,1,0]+(-18)\cdot [0,0,0,1],$

$x[n]=x[0]\cdot \delta [n-0]+x[1]\cdot \delta [n-1]+x[2]\cdot \delta [n-2]+x[3]\cdot \delta [n-3].$

Powyższe przekształcenia wynikają z własności wektorów.

System LTI

Sygnał $x$ opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał $y,$ będący odpowiedzią systemu:

$y[n]=T\{x[n]\}=T\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\}.$

Jeżeli system jest liniowy, to

$T\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\}=\sum _{k=0}^{N}x[k]T\{\delta [n-k]\}.$

Jeżeli system jest również niezmienniczy w czasie, czyli jego parametry są stale takie same, to odpowiedź systemu na sekwencję jednostkową również będzie wciąż taka sama, jako że sekwencja jednostkowa z definicji nie ulega zmianom. Fakt ten uwzględnia się w zapisie

$T\{\delta [n-k]\}=h[n-k].$

Stąd ostatecznie

$y[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]h[n-k].$

System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. linear time-invariant). Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową (pik), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał $x!$

Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją splotu:

$y[n]=x[n]\star h[n].$

Zobacz też

• cyfrowe przetwarzanie obrazów
• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• próbkowanie
• widmo