Stopa hazardu

Stopa hazardu – pochodna funkcji hazardu. Określa zbliżający się moment bankructwa danej firmy w najbliższej przyszłości. Potocznie nazywany natychmiastową stopą bankructwa.

Wzór

Stopa hazardu spełnia zależność:

${\mathrm{\Gamma }}_P(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\gamma }_P(s)ds,$ dla każdego $t⩾0,$

gdzie:

${\mathrm{\Gamma }}_P(t)$ – funkcja hazardu,

${\gamma }_P(t)$ – stopa hazardu.

Własności

Twierdzenie

Jeżeli zmienna $\tau$ posiada gęstość ${𝒻}_P,$ wówczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:

${\gamma }_P(t)=\frac{{𝒻}_P(t)}{1-F_P(t)}.$

Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu ${\gamma }_P$ istnieje, wówczas $\tau$ posiada gęstość postaci:

${𝒻}_P(t)={\gamma }_P(t)e^{-{\mathrm{\Gamma }}_P(t)}.$

Dowód

Załóżmy, że $\tau$ ma gęstość ${𝒻}_P.$ Chcemy pokazać, że:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{{𝒻}_P(s)}{1-F_P(s)}ds={\mathrm{\Gamma }}_P(t)$

Wyliczając całkę po lewej, otrzymujemy:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{{𝒻}_P(s)}{1-F_P(s)}ds=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{F{\text{'}}_P(s)}{1-F_P(s)}ds=-ln(1-F_P(t))={\mathrm{\Gamma }}_P(t),$

gdyż ${𝒻}_P(s)=F{\text{'}}_P(s)$ dla prawie wszystkich $s\in [0,\mathrm{\infty }).$

Jeżeli stopa hazardu ${\gamma }_P$ istnieje i ${\mathcal{\gamma }}_P(t)=\mathrm{\Gamma }{\text{'}}_P(t)$ dla prawie wszystkich $t\in [0,\mathrm{\infty }),$ wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:

$F_P(t)=1-e^{-{\mathrm{\Gamma }}_P(t)},$

gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

$F{\text{'}}_P(t)={\gamma }_P(t)e^{-{\mathrm{\Gamma }}_P(t)}={𝒻}_P(t)$ dla prawie wszystkich $t\in [0,\mathrm{\infty }).$ $◻$

Przykłady

• Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego $t⩾0:$

${\gamma }_P(t)=\lambda ,$

${\mathrm{\Gamma }}_P(t)=\lambda t.$

• Dla rozkładu gamma o parametrach $k=3$ oraz $\theta =2$ stopa hazardu wyraża się wzorem:

${\gamma }_P(t)=\frac{4t^2}{2t^2+2t+1},$ dla każdego $t⩾0.$