Spontaniczne namagnesowanie

Namagnesowanie spontaniczne (pozostałość magnetyczna) – namagnesowanie przy zerowym zewnętrznym polu magnetycznym po uprzednim nasyceniu materiału.

Analiza matematyczna zjawiska

Przybliżenie pola średniego polega na zaniedbaniu fluktuacji kwantowych:

$\delta A=⟨A^2⟩-⟨A{⟩}^2\sim 0.$

W ten sposób mamy $⟨A^2⟩=⟨A{⟩}^2$ i wtedy operator $A^2$ można zastąpić przez $2⟨A⟩A.$ Model Heisenberga można w przybliżeniu średniego pola zapisać jako

$H_{mf}=-\mu B^i\sum _n{S}_n^i+\sum _{n,g}{J}_g⟨S_{n+g}^i⟩S_n^i=-\mu L^i\sum _n{S}_n^i,$

gdzie $L^i$ jest polem molekularnym

$L^i=B^i-\frac{1}{\mu }\sum _g{J}_g⟨S_{n+g}^i⟩.$

Gdy $J_g<0,$ istnieje rozwiązanie, nawet gdy zewnętrzne pole magnetyczne $B^i=0$

$L^3=\frac{z|J_g|}{\mu }\sigma (x)=\frac{z|J_g|}{2\mu }\hslash \mathrm{tgh}(x)$

ze średnim namagnesowaniem

$\sigma =⟨S^3⟩=\frac{1}{2}\hslash \mathrm{tgh}(x),$

gdzie:

$x=\frac{\mu \hslash L^3}{2k_{B}T}.$

Jest to samouzgodnione równanie na pole molekularne $L^3$ które można zapisać w postaci

$tx=\frac{T}{T_0}x=\mathrm{tgh}(x).$

$T_0$ określa temperaturę przejścia fazowego

$T_0=\frac{z|J_g|{\hslash }^2}{4k_B}.$

Rozwiązaniem jest przecięcie prostej $(T/T_0)\cdot x$ z funkcją tgh(x). Funkcja $\mathrm{tgh}(x)$ ma rozwinięcie w szereg

$\mathrm{tgh}(x)=1-\frac{1}{3}{x}^3+\dots$

Samouzgodnione równanie $t\cdot x=\mathrm{tgh}(x)$ daje w tym przybliżeniu wynik teorii przejść fazowych Landaua

$(\frac{T}{T_0}-1)x+\frac{1}{3}{x}^3=0.$

Równanie to wyznacza minimum (dokładniej ekstremum) energii swobodnej

$F(t,x)\sim \frac{1}{2}(t-1)x^2+\frac{1}{12}{x}^4.$

Bibliografia

• C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999.