Spektrum pierścienia
Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością zbiór złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest
przy czym dla dowolnego podzbioru pierścienia symbol oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających
Własności
- Punkt w przestrzeni jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc zazwyczaj przestrzenią T1, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.
- Jeśli punkt przestrzeni należy do domknięcia innego punktu tej przestrzeni, to jako zbiór jest zawarty w (skoro jest elementem to musi zawierać zbiór ).
- jest przestrzenią T0.
Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego
Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w jest
Dla każdego elementu pierścienia niech oznacza dopełnienie w zbioru (będące zbiorem otwartym). Zbiory składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia które nie zawierają elementu Ponadto,
- zbiory tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
- zbiór jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element jest nilpotentny.
- zbiór jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy element jest jednością w pierścieniu
- przestrzeń jest zwarta, a każdy zbiór jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni
- zbiór otwarty w jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci
Spójność przestrzeni
Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni są zbiory gdzie jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia jest ideałem pierwszym.
Spektrum jako schemat afiniczny
Na przestrzeni topologicznej można zdefiniować snop pierścieni Mianowicie, dla określmy lokalizacja pierścienia w Ponieważ dla różnych zbiory tworzą bazę topologii oraz dla istnieje naturalne odwzorowanie łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach
Przestrzeń wraz z tak określonym snopem nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.
Przykłady
Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci gdzie jest liczbą pierwszą:
Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt przestrzeni jest domknięty (punkt domknięty nie jest). Ponadto, jeśli jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru należą te i tylko te ideały pierwsze (ewentualnie gdy ), dla których liczba dzieli każdą liczbę należącą do tj.
W szczególności, każdy zbiór jest skończony.
Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych jeśli jest ich iloczynem, to Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w są zbiory skończone i zbiór Dwa zbiory otwarte w mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.