Równanie Słuckiego

Równanie Słuckiego, którego nazwa pochodzi od Jewgienija Słuckiego, opisuje zmianę popytu w rozumieniu Marshalla (nieskompensowanego) będącą wynikiem zmiany popytu w rozumieniu Hicksa (skompensowanego). Równanie pokazuje, że zmiana popytu na dobro wywołana zmianą ceny jest spowodowana przez dwa efekty:

• efekt substytucyjny, będący skutkiem zmiany relacji cen między dwoma dobrami,
• efekt dochodowy, będący wynikiem zmiany ograniczenia budżetowego konsumenta.

Równanie Słuckiego dekomponuje zmianę popytu na dobro $i$-tego w wyniku zmiany ceny $j$-tego dobra:

$\frac{\partial x_i(𝐩,w)}{\partial p_j}=\frac{\partial h_i(𝐩,u)}{\partial p_j}-\frac{\partial x_i(𝐩,w)}{\partial w}{x}_j(𝐩,w),$

gdzie $h(𝐩,u)$ oznacza popyt w rozumieniu Hicksa, $x(𝐩,w)$ oznacza popyt w rozumieniu Marshalla, $𝐩$ jest wektorem cen, $w$ jest budżetem lub poziomem dochodów, zaś $u$ jest ustalonym poziomem użyteczności obliczonym poprzez maksymalizację użyteczności przy oryginalnych cenach i budżecie, formalnie określonym za pomocą funkcji wartości $v(𝐩,w).$ Prawa strona równania jest równa zmianie popytu na $i$-te dobro przy utrzymaniu użyteczności na poziomie $u$ minus popyt na $j$-te dobro, przemnożone przez zmianę popytu na $i$-te dobro pod wpływem zmiany budżetu.

Pierwsze wyrażenie po prawej stronie równania wyraża efekt substytucyjny, a drugie – efekt dochodowy. Efektu substytucyjnego, podobnie jak użyteczności, nie da się bezpośrednio zaobserwować. Można go oszacować na podstawie dwóch obserwowalnych składników równania Słuckiego. Ten proces jest znany jako dekompozycja Hicksa.

Równanie może zostać sformułowane w inny sposób, wykorzystując elastyczność:

${ϵ}_{p,ij}={ϵ}_{p,ij}^h-{ϵ}_{w,i}{b}_j,$

gdzie ${ϵ}_p$ jest (nieskompensowaną) elastycznością cenową, ${ϵ}_p^h$ jest skompensowaną elastycznością cenową, ${ϵ}_{w,i}$ jest elastycznością dochodową $i$-tego dobra, a $b_j$ jest udziałem w ograniczeniu budżetowym $j$-tego dobra.

Wyprowadzenie wzoru

Chociaż istnieje wiele sposobów na wyprowadzenie równania Słuckiego, poniższa jest prawdopodobnie najprostsza. Zaczynając od zależności $h_i(𝐩,u)=x_i(𝐩,e(𝐩,u)),$ gdzie $e(𝐩,u)$ jest funkcją wydatków, a $u$ otrzymuje się za pomocą maksymalizacji użyteczności przy danych $𝐩$ oraz $w.$ Wyliczenie pochodnej po $p_j$ daje następujący wynik:

$\frac{\partial h_i(𝐩,u)}{\partial p_j}=\frac{\partial x_i(𝐩,e(𝐩,u))}{\partial p_j}+\frac{\partial x_i(𝐩,e(𝐩,u))}{\partial e(𝐩,u)}\cdot \frac{\partial e(𝐩,u)}{\partial p_j}.$

Wykorzystując zależność $\frac{\partial e(𝐩,u)}{\partial p_j}=h_j(𝐩,u)$ wynikającą z lematu Shepharda oraz to, że dla optimum

$h_j(𝐩,u)=h_j(𝐩,v(𝐩,w))=x_j(𝐩,w),$ gdzie $v(𝐩,w)$ jest funkcją wartości, powyższe równanie można podstawić do wcześniejszego i przepisać całość jako równanie Słuckiego.

Macierz Słuckiego

Równanie Słuckiego można zapisać w postaci macierzowej:

${𝐃}_{𝐩}𝐱(𝐩,w)={𝐃}_{𝐩}𝐡(𝐩,u)-{𝐃}_{𝐰}𝐱(𝐩,w)𝐱(𝐩,w{)}^{\mathrm{\top }},$

gdzie ${𝐃}_{𝐩}$ jest operatorem różniczkowania po cenie, zaś ${𝐃}_{𝐰}$ jest operatorem różniczkowania po budżecie.

Macierz ${𝐃}_{𝐩}𝐡(𝐩,u)$ nosi nazwę macierzy substytucyjnej Hicksa i jest formalnie zdefiniowana jako:

$\sigma (𝐩,u):={𝐃}_{𝐩}𝐡(𝐩,u)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial h_i(𝐩,u)}{\partial p_j}\end{array}\right]$

Definicja Macierzy Słuckiego jest następująca:

$S(𝐩,w)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1(𝐩,w)}{\partial p_1}+x_1(𝐩,w)\frac{\partial x_1(𝐩,w)}{\partial w}& \cdots & \frac{\partial x_1(𝐩,w)}{\partial p_n}+x_n(𝐩,w)\frac{\partial x_1(𝐩,w)}{\partial w}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial x_n(𝐩,w)}{\partial p_1}+x_1(𝐩,w)\frac{\partial x_n(𝐩,w)}{\partial w}& \cdots & \frac{\partial x_n(𝐩,w)}{\partial p_n}+x_n(𝐩,w)\frac{\partial x_n(𝐩,w)}{\partial w}\end{array}\right)$

Gdy $u$ jest maksymalną użytecznością, którą konsument osiąga przy cenach $𝐩$ i dochodzie $w$, to jest $u=v(𝐩,w)$, równanie Słuckiego implikuje, że każdy element macierzy Słuckiego $S(𝐩,w)$ jest równy odpowiadającemu mu elementowi macierzy substytucyjnej Hicksa $\sigma (𝐩,u)$. Macierz Słuckiego jest symetryczna, a kiedy funkcja wydatków $e(𝐩,u)$ jest wklęsła, macierz Słuckiego jest również ujemnie półokreślona.

Zmiana wektora cen

Gdy mamy do czynienia z dwoma dobrami, równanie Słuckiego w formie macierzowej jest następujące:

$\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial p_1}& \frac{\partial x_1}{\partial p_2}\\ \frac{\partial x_2}{\partial p_1}& \frac{\partial x_2}{\partial p_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1}{\partial p_1}& \frac{\partial h_1}{\partial p_2}\\ \frac{\partial h_2}{\partial p_1}& \frac{\partial h_2}{\partial p_2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial w}{x}_1& \frac{\partial x_1}{\partial w}{x}_2\\ \frac{\partial x_2}{\partial w}{x}_1& \frac{\partial x_2}{\partial w}{x}_2\end{array}\right]$

Chociaż równanie Słuckiego dotyczy tylko nieskończenie małych zmian cen, standardowo jest używane jako liniowe przybliżenie dla skończonych zmian. Jeśli ceny dwóch dóbr zmieniają się o $\mathrm{\Delta }{p}_1$ i $\mathrm{\Delta }{p}_2$, wpływ na popyt na oba dobra jest następujący:

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{x}_1\\ \mathrm{\Delta }{x}_2\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1}{\partial p_1}& \frac{\partial h_1}{\partial p_2}\\ \frac{\partial h_2}{\partial p_1}& \frac{\partial h_2}{\partial p_2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{p}_1\\ \mathrm{\Delta }{p}_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial w}{x}_1& \frac{\partial x_1}{\partial w}{x}_2\\ \frac{\partial x_2}{\partial w}{x}_1& \frac{\partial x_2}{\partial w}{x}_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{p}_1\\ \mathrm{\Delta }{p}_2\end{array}\right]$

Mnożąc macierze, wpływ na dobro 1, będzie

$\mathrm{\Delta }{x}_1\approx (\frac{\partial h_1}{\partial p_1}\mathrm{\Delta }{p}_1+\frac{\partial h_1}{\partial p_2}\mathrm{\Delta }{p}_2)-\left(\frac{\partial x_1}{\partial w}\right)(x_1\mathrm{\Delta }{p}_1+x_2\mathrm{\Delta }{p}_2)$

Pierwszy składnik to efekt substytucji. Drugi składnik to efekt dochodowy, składający się z reakcji konsumenta na utratę dochodu pomnożoną przez wielkość utraty dochodu z wzrostu ceny każdego z dóbr.

Zobacz też

• teoria wyboru konsumenta

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj