Rozkład Panjera

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.

Definicja

Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:

$p_k=(a+\frac{b}{k})\cdot p_{k-1},k⩾1.$

gdzie $p_k=P(X=k).$

Wartość $p_0$ wynika z zależności.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k=1.$

Opis klasy rozkładów Panjera

Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy $m=0$).

Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$):

• rozkład Poissona (gdy $a=0,$ $b>0$),
• rozkład dwumianowy (gdy $a<0,$ $b=-a(l+1),$ $l=1,2,3,\dots$),
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy $a\in (0,1),$ $b>-a$),
• rozkład zdegenerowany $p_0=1$ (gdy $b=-a$).

Rozkład	$Pr(N=k)$	$a$	$b$	$p_0$	$W_N(x)$	$E(N)$	$Var(N)$
dwumianowy	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$\frac{-p}{1-p}$	$\frac{p(n+1)}{1-p}$	$(1-p{)}^n$	$(px+(1-p){)}^n$	$np$	$np(1-p)$
Poissona	$e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$	$0$	$\lambda$	$e^{-\lambda }$	$e^{\lambda (s-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
ujemny dwumianowy	$\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}{p}^r(1-p{)}^k$	$1-p$	$(1-p)(r-1)$	$p^r$	${\left(\frac{p}{1-x(1-p)}\right)}^r$	$\frac{r(1-p)}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

Można wykazać, że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

• $b<-a,$
• $a⩾1,$ $b>-a,$
• $a<0,$ $b>-1.$

Zachodzi ponadto:

$\frac{Var(X)}{E(X)}=\frac{1}{1-a}$

oraz

$Var(X)>E(X)⟺a>0,$

$Var(X)=E(X)⟺a=0,$

$Var(X)<E(X)⟺a<0.$

Uogólnienia

W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr $m$ określający wyraz ciągu $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne. Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę