Relacja rozmyta

Definicja formalna

Niech $U$ i $V$ będą niepoliczalnymi (ciągłymi) obszarami rozważań i ${\mu }_R:U\times V\to [0,1],$ wtedy

$R=\underset{U\times V}{\int }\frac{{\mu }_R(u,v)}{(u,v)}$

jest relacją rozmytą dwójkową na $U\times V.$ Jeśli $U$ i $V$ są policzalnymi (dyskretnymi) obszarami rozważań, wtedy

$R=\sum _{U\times V}\frac{{\mu }_R(u,v)}{(u,v)}.$

Działania na relacjach rozmytych

Niech $R$ i $S$ będą relacjami dwójkowymi zdefiniowanymi na $X\times Y.$

Iloczyn

Iloczyn $R$ i $S$ jest zdefiniowany

${\mathrm{\forall }}_{(x,y)\in X\times Y}:{\mu }_{R\cap S}(x,y)=min({\mu }_R(x,y),{\mu }_S(x,y)).$

Zamiast minimum można użyć dowolnej $T$ -normy.

Suma

Suma $R$ i $S$ jest zdefiniowana

${\mathrm{\forall }}_{(x,y)\in X\times Y}:{\mu }_{R\cup S}(x,y)=max({\mu }_R(x,y),{\mu }_S(x,y)).$

Projekcja

Projekcja $R$ na $S$ jest zdefiniowana

$projRnaV=\underset{V}{\int }\underset{x_{j_1},\dots ,x_{j_t}}{\sup }\frac{{\mu }_R(x_1,\dots ,x_n)}{(x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}.$

W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech $R$ będzie zdefiniowane na $X\times Y$)

$projRnaY=\underset{Y}{\int }\underset{x}{\sup }\frac{{\mu }_R(x,y)}{y}.$

Zamiast supremum, które jest niezbędne, gdy $X$ i $Y$ są ciągłe, na ogół operuje się na obszarach dyskretnych, stosując operację maksimum.

Rozszerzenie cylindryczne

Rozszerzenie cylindryczne $S$ w $U$ to

$ce(S)=\underset{U}{\int }\frac{{\mu }_R(x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}{(x_1,\dots ,x_n)}.$

W przypadku dwójkowym (niech $F$ będzie zbiorem rozmytym definiowanym na $Y$), rozszerzenie cylindryczne $F$ na $X\times Y$ jest zbiorem wszystkich n-tek $(x,y)\in X\times T$ ze stopniem przynależności równym ${\mu }_F(y),$ to znaczy

$ce(F)=\underset{X\times Y}{\int }\frac{{\mu }_F(y)}{(x,y)}.$

Stąd $projce(S)naV=S,$ ale ogólnie $ce(projRnaV)\ne R.$

Kompozycja

Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez $\circ$

Definicja

Niech $A$ będzie zbiorem rozmytym zdefiniowanym na $X$ i niech $R$ będzie relacją rozmytą zdefiniowaną na $X\times Y.$ Wtedy kompozycję $A$ i $R$ stanowi zbór rozmyty $B$ zdefiniowany na $Y$ i zapisany

$B=A\circ R=proj(ce(A)\cap R)naY$

lub jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą operacji minimum, a projekcja za pomocą operacji maksimum, to

${\mu }_B(y)=\underset{x}{\max }\min ({\mu }_A(x),{\mu }_R(x,y))$

Nazywamy to kompozycją max-min.

Jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą produktu, a projekcja za pomocą maksimum, to otrzymujemy

${\mu }_B(y)=\underset{x}{\max }{\mu }_A(x)\cdot {\mu }_R(x,y).$

Nazywamy to kompozycją max-dot lub kompozycją max-produkt.

Zobacz też

• logika rozmyta
• prawdopodobieństwo subiektywne
• relacja
• sztuczna inteligencja