Regula falsi

Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czarno); na czerwono zaznaczono sieczne; trzecia sieczna wyznacza czerwony punkt, który jest pierwiastkiem funkcji

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) – algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję $y=f(x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f(a)f(b)<0.$
3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

• Na początku przez punkty $A=(a,f(a))$ i $B=(b,f(b))$ przeprowadzana jest cięciwa.
• Punkt przecięcia $x_1$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
• Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
• Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x_1,f(x_1))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f(x_1).$ Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
• Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX $(x_i)$ i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

$x_1=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$

$x_{i+1}=\{\begin{array}{ccc}\frac{x_{i}f(a)-af(x_i)}{f(a)-f(x_i)}& gdy& f(a)f(x_i)<0\\ [.5em]\frac{x_{i}f(b)-bf(x_i)}{f(b)-f(x_i)}& gdy& f(b)f(x_i)<0\end{array}$

dla $i=1,2,...$

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

• algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)
• metoda bisekcji
• metoda Newtona (metoda stycznych)
• metoda siecznych
• odwrotna interpolacja kwadratowa

Linki zewnętrzne

• [1]