Równanie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne – równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej.

Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.

Elementarne równania trygonometryczne to:

$\sin x=a,$

$\cos x=a,$

$\mathrm{tg}x=a,$

$\mathrm{ctg}x=a,$

gdzie:

$a$ – ustalona liczba rzeczywista.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:

1. $\sin x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|⩽1,$

$x=x_0+2k\pi \vee x=\pi -x_0+2k\pi ,$

gdzie:

$x_0$ – rozwiązanie należące do przedziału $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}],$

$k\in C.$

2. $\cos x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|⩽1,$

$x=x_0+2k\pi \vee x=-x_0+2k\pi ,$

gdzie:

$x_0$ – rozwiązanie należące do przedziału $[0;\pi ],$

$k\in C.$

3. $\mathrm{tg}x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_0+k\pi ,$

gdzie:

$x_0$ – rozwiązanie należące do przedziału $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}),$

$k\in C.$

4. $\mathrm{ctg}x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_0+k\pi ,$

gdzie:

$x_0$ – rozwiązanie należące do przedziału $(0;\pi ),$

$k\in C.$

W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.

Bibliografia

• Encyklopedia matematyka, A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-04]:

• Szymon Charzyński, Układ równań trygonometrycznych, 10 lutego 2014.
• Krzysztof Kwiecień, Rozwiązywanie równań trygonometrycznych postaci sin(x)=d, 4 listopada 2017.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem – rozwiązania w przedziale, 10 lutego 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z sinusem, 7 marca 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem, 27 marca 2024.