Równanie różniczkowe Eulera

Szablon:Dopracować Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – równanie różniczkowe postaci:

$a_n{x}^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}...+a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$ dla $a_n\ne 0,$

gdzie $a_n,\dots ,$ $a_0$ są stałymi, a równanie jest liniowe względem $y$ i jego pochodnych.

Jeżeli $f(x)=0$ to równanie Eulera przyjmuje postać:

$a_n{x}^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}...+a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=0$ dla $a\ne 0$

i nazywamy je równaniem jednorodnym.

Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem

$x=e^t$

$\frac{dx}{dt}=e^t=x$

$\frac{dt}{dx}=e^{-t}=x^{-1}$

Dla pierwszego składnika:

$x\frac{dy}{dx}=x\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=x\frac{dy}{dt}{x}^{-1}=\frac{dy}{dt}$

Dla drugiego składnika:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=x^2\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x^2\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}\right)=e^{2t}{e}^{-t}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}{e}^{-t}\right)=e^t(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}{e}^{-t}-\frac{dy}{dt}{e}^{-t})=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}$

Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.

Weźmy równanie

$a_2{x}^2{y}^{(2)}+a_{1}x{y}^{(1)}+a_{0}y=f(x)$

Połóżmy

$y(x)=u(\ln (|x|))$

$a_2{x}^2(u^{(2)}\cdot \frac{1}{x^2}-u^{(1)}\cdot \frac{1}{x^2})+a_{1}x{u}^{(1)}\cdot \frac{1}{x}+a_{0}u=f(x)$

$a_2{u}^{(2)}-a_2{u}^{(1)}+a_1{u}^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

$a_2{u}^{(2)}+(a_1-a_2)u^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach

Znajdujemy pierwiastki równania charakterystycznego, następnie uzmienniamy stałą, rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego

Przykład

$x^3{y}^{(3)}-x^2{y}^{(2)}-2x{y}^{(1)}+6y=0$

$y(x)=u(\ln |x|)$

$-u^{(2)}\cdot 3/x^3{x}^3(u^{(3)}\cdot \frac{1}{x^3}-u^{(2)}\cdot \frac{1}{x^3}+u^{(1)}\cdot \frac{2}{x^3})-x^2(u^{(2)}\cdot \frac{1}{x^2}-u^{(1)}\cdot \frac{1}{x^2})-2x{u}^{(1)}\cdot \frac{1}{x}+6y=0$

$u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0$

$u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0$

${\lambda }^3-4{\lambda }^2+\lambda +6=0$

$(\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0$

$u=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{2x}+C_3{e}^{3x}$

$y=C_1\cdot \frac{1}{x}+C_2\cdot x^2+C_3\cdot x^3$