Równanie Heisenberga

Równanie Heisenberga – fundamentalne równanie ruchu mechaniki kwantowej będące odpowiednikiem równania Schrödingera w obrazie Heisenberga. Determinuje ewolucję czasową obserwabli i ma postać:

$i\hslash \frac{d}{dt}A(t)=[A(t),\hat{H}],$

gdzie:

$A(t)$ – obserwabla w obrazie Heisenberga,

$\hat{H}$ – hamiltonian układu,

zaś w prawej stronie równania zastosowano komutator: $[A(t),\hat{H}]=A(t)\hat{H}-\hat{H}A(t).$

(Mechanika kwantowa może być zdefiniowana w równoważny sposób w różnych obrazach, które związane są ze sobą pewną transformacją unitarną. Najczęściej spotykanymi obrazami są: obraz Schrödingera, obraz Heisenberga i obraz oddziaływania. W każdym obrazie równia ruchu przyjmują inną postać. W obrazie Schrödingera ewolucji czasowej podlegają stany kwantowe zgodnie z równaniem Schrödingera. Natomiast w obrazie Heisenberga stany są stałe w czasie, natomiast ewolucji podlegają obserwable.)

Jeśli hamiltonian ma postać: $H=\frac{1}{2m}{\overrightarrow{p}}^2+U(\overrightarrow{x}),$ wówczas równania ruchu mechaniki kwantowej przyjmują postać zbliżoną do równań mechaniki klasycznej (należy pamiętać, że wielkości występujące poniżej są niekomutującymi operatorami, a nie funkcjami rzeczywistymi jak w mechanice klasycznej):

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{x}(t)=\frac{\overrightarrow{p}(t)}{m},$

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{p}(t)=-\mathrm{\nabla }U(\overrightarrow{x}(t)).$