Równania telegrafistów

Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside’a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

Równania

Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:

• rozprowadzony opór $R$ przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości)
• rozprowadzona indukcyjność $L$ jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości)
• pojemność elektryczna $C$ między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika $C$ (farad na jednostkę długości)
• przewodność czynna $G$ dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)

Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

• $U(z,t)$ oraz $I(z,t)$ są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i pulsacji $\omega$ (gdzie $U(z)$ – zespolona amplituda napięcia; $I(z)$ – zespolona amplituda prądu)

$U=U{e}^{j\omega t}I=I{e}^{j\omega t},$

$A=R+j\omega L;B=G+j\omega C;{\gamma }^2=AB;$

• Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu $U(z)$ i $I(z)$ jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą $\gamma ,$ zwaną stałą propagacji

$\frac{d^{2}U}{d{z}^2}-{\gamma }^{2}U=0;\frac{d^{2}I}{d{z}^2}-{\gamma }^{2}I=0.$

Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól $E$ i $H.$ Równania te zwane są równaniami falowymi.

Równania telegrafistów wyraża się za pomocą $R,L,C$ i $G$ by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.

Linia bezstratna

Kiedy elementy $R$ i $G$ są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów $L$ i $C$ i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne $U$ wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia $x$ i czasu $t:$

$\frac{\partial }{\partial x}U(x,t)=-L\frac{\partial }{\partial t}I(x,t),$

$\frac{\partial }{\partial x}I(x,t)=-C\frac{\partial }{\partial t}U(x,t).$

Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}U=\frac{1}{LC}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}U,$

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}I=\frac{1}{LC}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}I.$

W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną $E=E_o{e}^{-j\omega (\frac{x}{c}-t)}$), równania te redukują się do:

$\frac{{\partial }^{2}U(x)}{\partial x^2}+{\omega }^{2}LC\cdot U(x)=0,$

$\frac{{\partial }^{2}I(x)}{\partial x^2}+{\omega }^{2}LC\cdot I(x)=0,$

gdzie $\omega$ – częstość fali w stanie stacjonarnym

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością $c=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Linia stratna

Gdy elementy straty $R$ i $G$ nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:

$\frac{\partial }{\partial x}V(x,t)=-L\frac{\partial }{\partial t}I(x,t)-RI(x,t),$

$\frac{\partial }{\partial x}I(x,t)=-C\frac{\partial }{\partial t}V(x,t)-GV(x,t).$

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po $x$ i drugiego po $t$ oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}V=LC\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}V+(RC+GL)\frac{\partial }{\partial t}V+GRV,$

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}I=LC\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}I+(RC+GL)\frac{\partial }{\partial t}I+GRI.$

Kierunek propagacji fali

Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. $R=0$ i $G=0$), rozwiązanie można przedstawić równaniem:

$V(x,t)=f_1(\omega t-kx)+f_2(\omega t+kx),$

gdzie:

$k=\omega \sqrt{LC}=\frac{\omega }{v},$

$k$ – liczba falowa (jednostka: radian na metr),

$\omega$ – częstość kołowa (radian na sekundę),

$f_1$ i $f_2$ – dowolne funkcje,

$v=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ – prędkość fazowa fali.

Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu

$I(x,t)=\frac{f_1(\omega t-kx)}{Z_0}-\frac{f_2(\omega t+kx)}{Z_0},$

gdzie $Z_0$ jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:

$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}.$