Równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna

Równania ruchu Einsteina-Infelda-Hoffmanna – wyprowadzone wspólnie przez Alberta Einsteina, Leopolda Infelda i Banesha Hoffmanna różniczkowe równania ruchu, opisujące przybliżoną dynamikę układu punktowych mas w zależności od ich wzajemnych oddziaływań grawitacyjnych przy uwzględnieniu efektów wynikających z ogólnej teorii względności. Równania te są wyprowadzone w taki sposób, że ich rozwiązania dobrze przybliżają rozwiązania pełnych równań ogólnej teorii względności w przypadku, gdy prędkości ciał są małe w porównaniu do prędkości światła w próżni, a pola grawitacyjne odpowiednio słabe.

Dany jest układ N ciał, oznaczonych indeksami A = 1, ..., N, barycentryczny wektor przyśpieszenia ciała A spełnia zależność:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{a}}_A=& \sum _{B=A}\frac{G{m}_B{\overrightarrow{n}}_{BA}}{r_{AB}^2}\\ & +\frac{1}{c^2}\sum _{B=A}\frac{G{m}_B{\overrightarrow{n}}_{BA}}{r_{AB}^2}[v_A^2+2v_B^2-4({\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_B)-\frac{3}{2}({\overrightarrow{n}}_{AB}\cdot {\overrightarrow{v}}_B{)}^2\\ & -4\sum _{C=A}\frac{G{m}_C}{r_{AC}}-\sum _{C=B}\frac{G{m}_C}{r_{BC}}+\frac{1}{2}(({\overrightarrow{x}}_B-{\overrightarrow{x}}_A)\cdot {\overrightarrow{a}}_B)]\\ & +\frac{1}{c^2}\sum _{B=A}\frac{G{m}_B}{r_{AB}^2}[{\overrightarrow{n}}_{AB}\cdot (4{\overrightarrow{v}}_A-3{\overrightarrow{v}}_B)]({\overrightarrow{v}}_A-{\overrightarrow{v}}_B)\\ & +\frac{7}{2c^2}\sum _{B=A}\frac{G{m}_B{\overrightarrow{a}}_B}{r_{AB}}+O(c^{-4})\end{array}$

gdzie:

$\cdot$ jest operacją iloczynu skalarnego wektorów,

${\overrightarrow{x}}_A$ jest barycentrycznym wektorem pozycji ciała $A,$

${\overrightarrow{v}}_A=d{\overrightarrow{x}}_A/dt$ jest barycentrycznym wektorem prędkości ciała $A,$

${\overrightarrow{a}}_A=d^2{\overrightarrow{x}}_A/d{t}^2$ jest barycentrycznym wektorem przyśpieszenia ciała $A,$

$r_{AB}=|{\overrightarrow{x}}_A-{\overrightarrow{x}}_B|$ jest odległością między ciałami $A$ i $B,$

${\overrightarrow{n}}_{AB}=({\overrightarrow{x}}_A-{\overrightarrow{x}}_B)/r_{AB}$ jest wektorem jednostkowym o zwrocie w kierunku od ciała $B$ do ciała $A,$

$m_A$ jest masą ciała $A,$

$c$ jest prędkością światła w próżni,

$G$ jest stałą grawitacji,

człon $O(c^{-4})$ oznacza, zgodnie z notacją dużego O, łącznie wszystkie składniki mające w mianowniku $c$ do potęgi czwartej lub wyższej.

Pierwszy człon prawej strony równania stanowi newtonowskie przyśpieszenie grawitacyjne ciała $A;$ przy przejściu granicznym $c\to \mathrm{\infty }$ równanie powyższe przechodzi zatem w klasyczne równanie dynamiki Newtona.

Przyśpieszenie danego ciała jest zależne od przyśpieszeń wszystkich pozostałych ciał, a w układzie równań każda wartość po lewej stronie znaku równości występuje również po prawej. W związku z tym równania te rozwiązuje się stosując metody iteracyjne. W praktyce, używając w obliczeniach przyśpieszenia newtonowskiego w miejsce przyśpieszenia relatywistyczngo, otrzymuje się zadowalającą dokładnośćSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę