Przestrzeń T0

Przestrzeń $T_0$ – termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie $T_0$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa, jako że zostały wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T_0,$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X,$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń $X$ jest przestrzenią $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy różne jednopunktowe podzbiory $X$ mają różne domknięcia.

Przykłady i własności

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią $T_0.$
• Istnieją przestrzenie $T_0,$ które nie są $T_1$ – np. przestrzeń Sierpińskiego lub topologia krojących się przedziałów. Rozważmy na przykład dwupunktową przestrzeń $X=\{a,b\}$ z topologią ${\tau }_0=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a\}\}.$ Jest to przestrzeń $T_0,$ ale nie $T_1.$
• Niech $X=\{a,b\}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną ${\tau }_1=\{\mathrm{\varnothing },X\}.$ Jest to przestrzeń topologiczna, która nie jest $T_0.$
• Przestrzeń $Y=(0,1)\cup (1,2),$ w której za zbiory otwarte uznamy $Y,\mathrm{\varnothing },$ $(0,1)$ i $(1,2),$ także nie jest przestrzenią $T_0.$
• Podzbiór przestrzeni $T_0$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_0.$ Własność być przestrzenią $T_0$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_0$ jest przestrzenią $T_0.$

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń T₁

Bibliografia

• Engelking Ryszard: Topologia Ogólna, PWN, Warszawa 2007, Szablon:ISBN, strona 51.
• Szablon:Cytuj