Przestrzeń M (Marcinkiewicza)

Szablon:Dopracować Przestrzeń metryczna $(X,\varrho ),$ gdzie X jest zbiorem dystrybucji dla którego jest spełnione:

${\mathrm{\forall }}_{\tau },$   gdzie $\tau$ – skończone,

istnieje całka Lebesgue’a: $\underset{-\tau }{\overset{\tau }{\int }}{|x(t)|}^{2}dt$

i istnieje skończona granica:

$\overline{\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }}\frac{1}{2\tau }\underset{-\tau }{\overset{\tau }{\int }}{|x(t)|}^{2}dt,$

gdzie $\bar{\lim }$ jest granicą górną.

X dzielimy na klasy abstrakcji ze względu na relację:

$x\backsim y\iff \overline{\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }}\frac{1}{2\tau }\underset{-\tau }{\overset{\tau }{\int }}{|x(t)-y(t)|}^{2}dt=0,$

$x,y\in X.$

Metryka $\varrho (x,y)=\overline{\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }}\sqrt{\frac{1}{2\tau }\underset{-\tau }{\overset{\tau }{\int }}{|x(t)-y(t)|}^{2}dt},$

$x,y\in X.$

Przestrzeń M jest przestrzenią zupełną i jest nazywana przestrzenią sygnałów o ograniczonej mocy średniej.

Zobacz też

• Józef Marcinkiewicz