Przedział predykcji

Przedział predykcji – wyznaczone na podstawie zebranych danych oszacowanie zakresu, w którym z ustalonym prawdopodobieństwem (równym $1-\alpha$) będzie mieścić się nowa obserwacja pochodząca z badanej populacji. Przedziały predykcji to narzędzie wnioskowania statystycznego. Są one używane przede wszystkim, ale nie wyłącznie, w analizie regresji.

Przedział predykcji na podstawie próby losowej

Załóżmy, że z populacji, co do której w przybliżeniu możemy założyć rozkład normalny, pobrano $n$-elementową prostą próbę losową. W takiej sytuacji przedział predykcji dla nowej obserwacji pochodzącej z tej samej populacji można wyznaczyć na podstawie wzoru:

$\overline{x}\pm t_{(\alpha /2,n-1)}s\sqrt{1+\frac{1}{n}}$,

gdzie $\overline{x}$ to średnia z próby, $s$ to odchylenie standardowe z próby, zaś $t_{(\alpha /2,n-1)}$ to kwantyl rzędu $1-\frac{\alpha }{2}$ rozkładu t Studenta z $n-1$ stopniami swobody.

Warto zauważyć, że przedział predykcji jest zwykle dużo szerszy niż analogiczny przedział ufności dla średniej wyrażony podobnym wzorem: $\overline{x}\pm t_{(\alpha /2,n-1)}s\sqrt{\frac{1}{n}}$. Jest tak dlatego, że przedział ufności stanowi oszacowanie średniej, a przedział predykcji oszacowanie pojedynczej nowej wartości z populacji.

Przedział predykcji w regresji prostej

Korzystając z klasycznego modelu regresji prostej (regresji liniowej z jedną zmienną objaśniającą), można prognozować wartość zmiennej objaśnianej dla nowej obserwacji $h$, pochodzącej z populacji, używając wzoru:

${\hat{y}}_h\pm t_{(\alpha /2,n-2)}\hat{\sigma }\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_h-\overline{x}{)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}}$

gdzie $x_h$ to wartość zmiennej objaśniającej nowej obserwacji, ${\hat{y}}_h$ to prognoza punktowa zmiennej objaśnianej, $n$ to liczba obserwacji wykorzystanych do zbudowania modelu (liczebność próby), $\overline{x}$ to średnia wartość zmiennej objaśniającej w próbie, $t_{(\alpha /2,n-2)}$ to kwantyl rzędu $1-\frac{\alpha }{2}$ rozkładu t Studenta z $n-2$ stopniami swobody, zaś $\hat{\sigma }$ to pierwiastek ze średniego kwadratu reszt ${\hat{\sigma }}^2$:

${\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _i(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n-2}$

Przedział predykcji w regresji wielorakiej

Dla modelu klasycznej liniowej regresji wielorakiej przedział predykcji możemy wyznaczyć, stosując wzór:

${\hat{y}}_h\pm t_{(\alpha /2,n-k-1)}\hat{\sigma }\sqrt{1+{𝐱}_h^{\mathrm{\top }}({𝐗}^{\mathrm{\top }}𝐗{)}^{-1}{𝐱}_h}$,

gdzie ${𝐱}_h$ to wektor zmiennych objaśniających nowej obserwacji (z elementem równym jeden odpowiadającym wyrazowi wolnemu, zwykle na pierwszej pozycji), ${\hat{y}}_h$ to prognoza punktowa zmiennej objaśnianej, $n$ to liczba obserwacji wykorzystanych do zbudowania modelu (liczebność próby), $k$ to liczba zmiennych objaśniających, $𝐗$ to macierz układu zawierająca kolumnę jedynek odpowiadającą wyrazowi wolnemu oraz wartości $k$ zmiennych objaśniających (w kolumnach) dla $n$ obserwacji (w wierszach), $t_{(\alpha /2,n-k-1)}$ to kwantyl rzędu $1-\frac{\alpha }{2}$ rozkładu t Studenta z $n-k-1$ stopniami swobody, zaś $\hat{\sigma }$ to pierwiastek ze średniego kwadratu reszt wyznaczonego za pomocą wzoru:

${\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _i(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n-k-1}$.

Zobacz też

• przedział ufności
• przedział wiarygodności