Problem odwrotny

Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu.

Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.

Zapis formalny

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

$𝐘=𝐇(𝐗,𝐏,𝐂)$

gdzie $𝐘=\{y_1,y_2,\dots ,y_m\}$ to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); $𝐗=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); $𝐏=\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$ oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); $𝐂=\{c_1,c_2,\dots ,c_k\}$ oznacza warunki brzegowe; $𝐇$ to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów $𝐗,𝐏,𝐂$ wyznaczana jest wartość $𝐘,$ to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora $𝐘$ i wybranych parametrów spośród $𝐗,𝐏,𝐂$ mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów $𝐘$ i $𝐗,$ wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym.

Prosty przykład

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy, że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

Typy problemów źle postawionych

W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych:

• typ I – gdy liczba niewiadomych jest większa niż liczba danych wejściowych,
• typ II – gdy poszukiwane parametry modelu są niewrażliwe na dane wejściowe,
• typ III – gdy zmierzone dane wejściowe obarczone błędem pomiarowym poddawane są działaniu operatora różniczkowego.

Przykłady zastosowań

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej, wyznaczanie prądów morskich, zastosowanie w badaniach nieniszczących czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii i elektroencefalografii.

Zobacz też

• regularyzacja Tichonowa

Linki zewnętrzne

• Międzynarodowe Stowarzyszenie Problemów Odwrotnych