Prędkość orbitalna

Szablon:Dopracować Prędkość orbitalna – prędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

Orbita kołowa

Na orbicie kołowej orbitujące ciało o masie niewielkiej w porównaniu z masą ciała centralnego porusza się po okręgu o środku w środku obieganego ciała. W ruchu tym siłą dośrodkową jest siła grawitacji, zatem:

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$

i dlatego

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacyjna,

$M$ – masa ciała okrążanego, np. planety,

$m$ – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,

$r$ – promień orbity,

$v$ – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi $R.$ Ciało to porusza się z pewną prędkością $v,$ w kierunku prostopadłym do prostej łączącej środki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu $dt,$ ciało przebywa niewielką drogę $ds,$ w wyniku czego wysokość ciała zmieni się o $dh$ od środka ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas $R+dh.$ Punkty: początkowego położenia ciała, końcowego położenia ciała oraz środka ciała niebieskiego, są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktów:

$R^2+(ds{)}^2=(R+dh{)}^2.$

Przebywając drogę $ds,$ ciało spada o $dh.$ Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości $v,$ z jaką ciało ma się poruszać, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się w takiej samej odległości od ciała niebieskiego, dzięki czemu jego tor ruchu będzie okręgiem. Wysokość od ciała niebieskiego $h,$ na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu $t,$ dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

$h=\frac{1}{2}a{t}^2,$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym w miejscu gdzie znajduje się orbitujące ciało.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości $dh$ i czasu $dt,$ gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc $dh\to 0,$ jest więc zaniedbywalnie mała.

$dh=\frac{1}{2}a(dt{)}^2.$

Podstawiając za $dh$ powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$R^2+(ds{)}^2={(R+\frac{1}{2}a(dt{)}^2)}^2.$

Od obu stron równania odejmujemy $R^2$

$(ds{)}^2={(R+\frac{1}{2}a(dt{)}^2)}^2-R^2.$

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

$v=\frac{ds}{dt}.$

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

$v^2={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2=\frac{(ds{)}^2}{(dt{)}^2}.$

Podstawiając za $(ds{)}^2$ powyższy wzór, otrzymujemy:

$\begin{array}{cc}{v}^2& =\frac{{(R+\frac{1}{2}a(dt{)}^2)}^2-R^2}{(dt{)}^2}\\ & =\frac{R^2+\frac{1}{4}{a}^2(dt{)}^4+aR(dt{)}^2-R^2}{(dt{)}^2}\\ & =\frac{\frac{1}{4}{a}^2(dt{)}^4+aR(dt{)}^2}{(dt{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}{a}^2(dt{)}^2+aR.\end{array}$

Ponieważ $dt\to 0,$ więc $\frac{1}{4}{a}^2(dt{)}^2\to 0.$ Ostatecznie otrzymujemy:

$v^2=aR.$

Pierwiastkujemy obie strony równania:

$v=\sqrt{aR}.$

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

$a=\frac{GM}{R^2},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$M$ – masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za $a$ powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

$v=\sqrt{\frac{GM}{R^2}\cdot R},$

$v_I=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć, znając okres obiegu i promień orbity

$v=\frac{2\pi r}{T},$

gdzie:

$T$ – okres orbitalny.

Orbita eliptyczna

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii.