Powierzchnia Coonsa

Przykład powierzchni Coonsa: kolorami zaznaczono krzywe brzegowe, siatka aproksymuje powierzchnię

Powierzchnia Coonsa – powierzchnie będące wynikiem interpolacji (liniowej lub innej) czterech brzegowych parametrycznych krzywych przestrzennych. Są stosowane w modelowaniu geometrycznym CAD.

Nazwa pochodzi od nazwiska Stevena Coons, który opisał te powierzchnie w pracy doktorskiej pt. Surfaces for Computer-Aided Design of space forms.

Definicja

Krzywe muszą mieć wspólne końce w przestrzeni. Dziedziną powierzchni jest kwadrat $[0,1]\times [0,1],$ natomiast dziedziny krzywych to odcinki na jego brzegach: $[u,1],$ $[u,0],$ $[0,w]$ oraz $[1,w],$ gdzie parametry $u,w\in [0,1].$

Funkcje interpolujące $\alpha (u)$ i $\beta (w)$ muszą być ciągłe i monotoniczne na przedziale $[0,1].$ Muszą też spełniać następujące równości: $\alpha (0)=0$ i $\alpha (1)=1,$ $\beta (0)=1$ i $\beta (1)=0.$

Powierzchnia Coonsa dana jest równaniem:

$S(u,w)=S_1(u,w)+S_2(u,w)-S_3(u,w)$

gdzie:

$S_1(u,w)=\alpha (u)S(0,w)+\beta (u)S(1,w)$

$S_2(u,w)=\alpha (w)S(u,0)+\beta (w)S(u,1)$

$S_3(u,w)=[\alpha (u)S(0,0)+\beta (u)S(1,0)]\alpha (w)+[\alpha (u)S(0,1)+\beta (u)S(1,1)]\beta (w)$

Dla interpolacji liniowej ($\alpha (x)=x,$ $\beta (x)=1-x$) wynoszą:

$S_1(u,w)=(1-u)S(0,w)+uS(1,w)$

$S_2(u,w)=(1-w)S(u,0)+wS(u,1)$

$S_3(u,w)=(1-u)(1-w)S(0,0)+u(1-w)S(1,0)+(1-u)wS(0,1)+uwS(1,1)$

W tym przypadku $S_1$ i $S_2$ to powierzchnie prostokreślne, natomiast $S_3$ to powierzchnia powstała z interpolacji punktów w narożnikach.

Powierzchnia Gordona

Powierzchnia Gordona jest uogólnieniem powierzchni Coonsa, w którym interpoluje się dwie rodziny krzywych.

Zobacz też

• NURBS
• płaty Béziera

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Steven A. Coons, Surfaces for Computer-Aided Design of space forms, 1967, MIT