Pierścień ułamków

Pierścień ułamków – uogólnienie pojęcia ciała ułamków.

Konstrukcja ciała ułamków pierścienia całkowitego $\Re$ wymaga, by zbiór mianowników był określony jako $\Re \setminus \{0\}$. Konstrukcja pierścienia ułamków jest podobna, lecz zamiast zbioru mianowników $\Re \setminus \{0\}$ dopuszcza się dowolny podzbiór multyplikatywny $𝒮$.

Definiuje się relację równoważności w zbiorze $\Re \times 𝒮,$ gdzie $\Re$ jest dziedziną całkowitości, a $𝒮$ jej podzbiorem multyplikatywnym:

$(r_1,s_1)\wr (r_2,s_2)\iff r_1{s}_2=r_2{s}_1$.

Otrzymana w ten sposób struktura $(\Re \times 𝒮){/}_{\wr }$ (wraz z odpowiednimi działaniami, zdefiniowanymi analogicznie jak w konstrukcji ciała ułamków) jest dziedziną całkowitości, oznaczaną zazwyczaj symbolem ${𝒮}^{-1}\Re$ i nazywaną pierścieniem ułamków dziedziny $\Re$ względem podzbioru multyplikatywnego $𝒮$.

Istnieje zanurzenie pierścienia $\Re$ w ${𝒮}^{-1}\Re ,$ co umożliwia utożsamienie elementów pierścienia $\Re$ z odpowiednimi ułamkami pierścienia ułamków.

Dla każdej dziedziny całkowitości $\Re$ zbiór $\Re \setminus \{0\}$ jest podzbiorem multyplikatywnym, co sprowadza ten przypadek do pojęcia ciała ułamków.