Pierścień ilorazowy

Szablon:Dopracować Pierścień ilorazowy – pierścień zdefiniowany na klasach abstrakcji w zbiorze elementów wyjściowego pierścienia, w którym określono pewną relację równoważności elementów względem pewnego ideału tego pierścienia. Pojęcie analogiczne do grupy ilorazowej.

Definicja formalna

Niech $Q$ będzie ideałem pierścienia $S.$ Relacja ${\mathrm{R}}_Q\subset S\times S$ określona: $a{\mathrm{R}}_{Q}b⟺a-b\in Q$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu $S.$ Zbiór ilorazowy $S/{\mathrm{R}}_Q$ z określonymi w nim działaniami:

• $[a]+[b]=[a+b],$
• $[a][b]=[ab],$

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez $S/Q$ i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia $S$ przez ideał $Q.$

Można wykazać, że dowolna relacja $\mathrm{R}\subset S\times S$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu $S$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją ${\mathrm{R}}_Q$ dla pewnego ideału $Q.$

Własności

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.

• Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny.
• Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji [1].
• S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym.
• Jeżeli S jest pierścieniem z jedynką i S/Q jest pierścieniem z dzieleniem, Q jest ideałem maksymalnym. Jeżeli S jest dodatkowo przemienny prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy Q jest ideałem maksymalnym)