Okrąg dopisany

Na pomarańczowo zaznaczone są trzy okręgi dopisane do trójkąta ΔABC

Okrąg dopisany do trójkąta – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.

Pole trójkąta

Przyjmując $r_a$ – promień okręgu dopisanego naprzeciw wierzchołka A oraz $a,b,c$ – boki naprzeciw odpowiednich wierzchołków, otrzymujemy wzór na pole trójkąta:

$S=\frac{1}{2}{r}_a(b+c-a).$

Dowód

Po przedłużeniu boków $b$ i: $c$ oraz poprowadzeniu prostej stycznej do okręgu dopisanego przecinającej te przedłużenia odpowiednio w punktach $B^{\prime }$ i: $C^{\prime }$ uzyskujemy trójkąt $A{B}^{\prime }{C}^{\prime },$ dla którego jest to okrąg wpisany. Jest on również wpisany w czworokąt $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }.$ Pole trójkąta $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ wyraża się wzorem:

$S=\frac{1}{2}{r}_a(a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }),$

a czworokąta:

$S=\frac{1}{2}{r}_a(a+(b^{\prime }-b)+a^{\prime }+(c^{\prime }-c)).$

Pole trójkąta jest różnicą tych pól.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Rudnicki, Okręgi dopisane trójkąta prostokątnego, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 15 września 2018 [dostęp 2024-10-07].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-07].