Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana $F^{-1}(p)$.

Jeżeli dystrybuanta $F(x)$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

$F^{-1}(p)=\{x\in ℝ:p=F(x)\},$

gdzie $p\in (0,1).$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

$F^{-1}(p)=\inf \{x\in ℝ:p⩽F(x)\},$

gdzie $p\in (0,1).$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

$F^{-1}(p)$ jest niemalejąca dla $p\in (0,1),$

$F^{-1}(p)$ jest lewostronnie ciągła dla $p\in (0,1),$

$F^{-1}(F(x))⩽x$ dla $x\in ℝ$ takiego, że $\mathrm{\Phi }(x)\in (0,1),$

$p⩽F(F^{-1}(p))$ dla $p\in (0,1).$

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu $\mathrm{erf}:$

$F_{\mu ,{\sigma }^2}^{-1}(p)=\mu +\sigma {\mathrm{\Phi }}^{-1}(p)=\mu +\sigma \sqrt{2}{\mathrm{erf}}^{-1}(2p-1),p\in (0,1).$

gdzie:

$\mu$ – wartość oczekiwana rozkładu,

${\sigma }^2$ – wariancja rozkładu.

$F_{\mu ,{\sigma }^2}^{-1}(p)$ – odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej $\mu$ i wariancji ${\sigma }^2$

${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ – odwrotna dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego $𝒩(0,1).$

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa, wg wzoru:

$Y=F^{-1}(X),$

gdzie:

$Y$ – zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,

$F$ – dystrybuanta tego rozkładu,

$X$ – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).