Nierówność różniczkowa

Nierówność wiążąca argument, nieznaną funkcję i jej pochodną.

Na przykład

$y^{\prime }>f(x,y(x)),$

gdzie: $x$ jest argumentem, $f$ – daną funkcją dwóch zmiennych, a $y$ niewiadomą funkcją zmiennej $x$.

Podstawowym problemem teorii nierówności różniczkowych jest opisanie zbioru ich rozwiązań w zależności od danych wartości początkowych lub wartości granicznych. Problematyka ta jest związana z teorią równań różniczkowych zwyczajnych, teorią równań różniczkowych cząstkowych, teorią równań całkowych i teorią równań różnicowych. Dużą grupę nierówności różniczkowych stanowią nierówności powstałe przez zamianę w znanych i zbadanych równaniach znaku równości znakiem nierówności, co jest równoważne dodaniu do jednej ze stron funkcji dodatniej, bądź ujemnej.

Ważnym problemem jest porównanie rozwiązań nierówności różniczkowej z rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego. Na przykład dla dowolnego rozwiązania $y$ nierówności różniczkowej

$y^{\prime }>f(x,y(x))$

oraz rozwiązania $z$ równania różniczkowego

$z^{\prime }=f(x,z(x)),$

o tych samych warunkach początkowych $y(x_0)=z(x_0)$ w dowolnym przedziale istnienia obu rozwiązań $[x_1;x_2]$ zachodzą nierówności

$y(x)<z(x)$ dla $x_1⩽x<x_0,$

$z(x)<y(x)$ dla $x_0<x⩽x_2$.

Przykłady

• Jeżeli $y=\phi (x)$ jest całką równania różniczkowego $\frac{dy}{dx}=p(x)y$ (gdzie $p(x)$ jest funkcją ciągłą w przedziale $I=(a;b)$) spełniającą warunek początkowy $\phi (x_0)=y_0,x_0\in I,$ a funkcja różniczkowalna $y=\upsilon (x)$ spełnia ten sam warunek początkowy i nierówność różniczkową

$\frac{d\upsilon }{dx}⩾p(x)\upsilon$ dla $x\in [x_0;x_1]\subset I,$

to dla każdego $x\in [x_0;x_1]$

$\upsilon (x)⩾\phi (x)$.

• Twierdzenie Czapłygina-Perrona. Niech funkcje $f(x,y)$ i $F(x,y)$ będą ciągłe w prostokącie domkniętym

$𝒟=\{(x,y):x_0⩽x⩽x_0+a,|y-y_0|⩽b\},$ gdzie $a>0,b>0$

i spełniają nierówność

$f(x,y)⩽F(x,y).$

Jeśli wtedy $y=y(x),y=\upsilon (x)$ są odpowiednio całkami równań różniczkowych

$y=f(x,y),y=F(x,\upsilon )$

przechodzącymi przez punkt $(x_0,y_0),$ określonymi w przedziale $x_0⩽x⩽x_0+a$ i leżącymi między $y_0-b$ i $y_0+b,$ oraz jeśli $f(x,y)$ spełnia w prostokącie $𝒟$ warunek Lipschitza względem y, to

dla każdego $x_0⩽x⩽x_0+a$ zachodzi nierówność $y(x)⩽\upsilon (x).$

Ponadto jeśli w pewnym punkcie $x_1>x_0$ jest $y(x_1)<\upsilon (x_1),$ to

dla każdego $x_1⩽x⩽x_0+a$ zachodzi $y(x)<\upsilon (x)$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę