Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda

Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda – nierówność nosząca nazwiska Józefa Marcinkiewicza i Antoniego Zygmunda opisująca związek między momentami ciągu niezależnych zmiennych losowych. Jest ona uogólnieniem wzoru na sumę wariancji niezależnych zmiennych losowych na momenty dowolnego rzędu, z drugiej strony istnieją generalizacje tej nierówności na ogólniejsze symetryczne statystyki niezależnychSzablon:R, poprawiano również stałeSzablon:R i rozpatrywano zależne zmienne losoweSzablon:R.

Twierdzenie

Jeśli $X_i$ $(i=1,\dots ,n)$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej, $𝔼X_i=0,$ i skończonych momentach do $p$-tego włącznie, $𝔼|X_i{|}^p<+\mathrm{\infty }$ dla $1⩽p<+\mathrm{\infty },$ to

$A_p𝔼{(\sum _{i=1}^n|X_i{|}^2)}^{\frac{p}{2}}⩽𝔼{\left|\sum _{i=1}^n{X}_i\right|}^p⩽B_p𝔼{(\sum _{i=1}^n|X_i{|}^2)}^{\frac{p}{2}},$

gdzie $A_p$ oraz $B_p$ są dodatnimi stałymi zależącymi wyłącznie od $p$Szablon:R.