Model Stackelberga

Model Stackelberga – popularny model konkurencji niedoskonałej. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1934 roku przez niemieckiego ekonomistę Heinricha Freiherra von Stackelberga. Zgodnie z założeniami modelu każde z przedsiębiorstw w duopolu wybiera poziom swojej produkcji dążąc do maksymalizacji zysku. Zakłada się również, że produkowane przez wszystkie firmy dobra są identyczne i mają jednakową cenę. Od modelu Cournota różni się tym, że o wielkości produkcji firmy decydują nie jednocześnie, lecz jedna z firm podejmuje tę decyzję jako pierwsza. Wielkość ta jest następnie obserwowana przez drugiego konkurenta, który wówczas podejmuje swoją decyzję dotyczącą wielkości produkcji.

Formalny model

Klasyczny model duopolu Stackelberga z liniowym popytem i stałymi kosztami krańcowymi można przedstawić w następujący sposób. Popyt można zapisać w postaci $p=A-BQ$ a koszty przedsiębiorstw jako $C(q)=cq.$ Bez straty ogólności można założyć, że c=0, bowiem w przypadku gdy c>0 wystarczy zmodyfikować parametryzację popytu definiując $A^{\prime }:=A-c.$

Równowagę Nasha można znaleźć wykorzystując algorytm indukcji wstecznej. Oznaczając poziom produkcji wybrany przez przedsiębiorstwo 1 na pierwszym etapie gry jako $q_1,$ popyt ma postać $p=A-B{q}_1-B{q}_2.$ Gdy przedsiębiorstwo 2 na drugim etapie wybiera swój poziom produkcji $q_2,$ traktuje ono wielkość $q_1$ jako znaną i stałą, a zatem zachowuje się jak monopolista.

Poziom produkcji maksymalizujący zysk przedsiębiorstwa 2 jest zatem w tej sytuacji dany wzorem: $q_2=\frac{A-B{q}_1}{2B}.$ Przy takim poziomie produkcji cena równowagi wynosi $p=\frac{A-B{q}_1}{2}$ i jak widać zależy od $q_1.$

Biorąc pod uwagę opisane powyżej zachowanie przedsiębiorstwa 2 w drugim etapie gry w pierwszym etapie przedsiębiorstwo 1 maksymalizuje swój zysk $p(q_1)q_1$ wybierając optymalny poziom $q_1.$ Formalnie funkcję zysku przedsiębiorstwa 1 można zapisać jako:

$p(q_1)q_1=\frac{A-B{q}_1}{2}{q}_1.$

Ponownie maksymalizacja tej funkcji to problem analogiczny do tego jaki rozwiązuje monopolista. Jego rozwiązanie jest dane wzorem $q_1=\frac{A}{2B},$ a zatem $p=\frac{A}{4}.$

Wynika stąd dalej, że w równowadze zyski przedsiębiorstw wynoszą odpowiednio ${\pi }_1=\frac{A^2}{8B}=\frac{{\pi }^M}{2}$ oraz ${\pi }_2=\frac{A^2}{32B}=\frac{{\pi }^M}{8},$ gdzie ${\pi }^M$ to zysk monopolisty.

Z rozwiązania tego wynikają następujące fakty. Przedsiębiorstwo 1 produkuje taką samą ilość produktu jaką wybrałby monopolista. W drugim etapie gry, przedsiębiorstwo 2 produkuje połowę tej wielkości. W równowadze cena równa jest połowie ceny ustalonej przez monopolistę, a zatem niższa niż cena w przypadku monopolu, ale jednocześnie wyższa niż w przypadku modelu Cournota. Wreszcie, zysk przedsiębiorstwa 1 jest równy połowie zysku monopolisty, zaś zysk przedsiębiorstwa 2 jest równy 1/8 zysku monopolisty. Zysk przedsiębiorstwa 1 jest wyższy niż w przypadku modelu Cournota, zaś zysk przedsiębiorstwa 2 – niższy.

Powyższy model duopolu można uogólnić do oligopolu.

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę Atlas of Economic Models Szablon:Lang.