Metoda momentów

Metoda momentów (MM) – w statystyce, metoda estymacji parametrów populacji polegająca na wyznaczaniu równań wiążących momenty populacji z parametrami, które mają być estymowane.

Opis metody

Niech dana będzie próba

$\{x_t:t=0,\dots ,T\},$

która posłużyć mu do wyznaczenia wektora parametrów $\theta$ (macierzy $p\times 1$) o wartości prawdziwej ${\theta }_0.$ Niech

$f(x_t,\theta )(t=0,\dots ,T)$

będzie ciągłą funkcją parametru $\theta$ o wartościach będących wektorami $q\times 1.$ Załóżmy, że wartości oczekiwane $𝖤f(x_t,\theta )$ istnieją i są skończone dla wszelkich $t.$ Równania

$𝖤f(x_t,\theta )=0(t=0,\dots ,T)$

nazywane są warunkami momentówSzablon:Odn. W przypadku gdy $q=p$ warunki momentów są układem $p$ równań o $p$ niewiadomych. Funkcja

$f_T(\theta )=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^{T}f(x_t,\theta )$

jest estymatorem MM wartości oczekiwanych $𝖤f(x_t,\theta ).$

Rozwiązanie równania $f_T(\theta )=0,$ $\hat{\theta },$ estymuje prawdziwą wartość ${\theta }_0$Szablon:Odn.

Przykłady warunków momentów

Regresja liniowa

Niech dany będzie model regresji liniowej

$y_t={x_t}^{\prime }{\beta }_0+u_t,$

gdzie $x_t$ jest wektorem $p\times 1$ regresorów, ${\beta }_0$ jest wartością prawdziwą estymowanych parametrów (wektorów $p\times 1$) $\beta$ oraz $u_t$ jest błędem statystycznym. Pod założeniem

$𝖤(u_t|x_t)=0,$

zachodzi związek

$𝖤(y_t|x_t)={x_t}^{\prime }{\beta }_0.$

Z prawa iterowanych oczekiwań wynika, że

$𝖤(x_t{u}_t)=𝖤(𝖤(x_t{u}_t|x_t))=𝖤(x_{t}E(u_t|x_t))=0.$

Równania

$𝖤(x_t{u}_t)=𝖤(x_t(y_t-{x_t}^{\prime }{\beta }_0))=0,$

są szukanymi warunkami momentów. (W oryginalnej definicji można przyjąć $\theta =\beta$ oraz $f((x_t,y_t),\theta )=x_t(y_t-{x_t}^{\prime }{\beta }_0)$)Szablon:Odn.

Populacja o rozkładzie gamma

Niech dana będzie próba

$\{x_t:t=0,\dots ,T\}$

populacji o rozkładzie gamma z parametrami $p^{*},q^{*}$ z wartościami prawdziwymi $p_0^{*},q_0^{*}.$ W szczególności,

$𝖤x_t=\frac{p_0^{*}}{q_0^{*}}$

oraz

$𝖤(x_t-𝖤x_t{)}^2=\frac{p_0^{*}}{(q_0^{*}{)}^2}.$

Przyjmując $\theta =(p^{*},q^{*}{)}^{\prime }$ oraz

$f_t(x_t,\theta )=(x_t-\frac{p^{*}}{q^{*}},(x_t-\frac{p^{*}}{q^{*}}{)}^2-\frac{p^{*}}{(q^{*}{)}^2}{)}^{\prime }$

równania $𝖤(f(x_t,\theta ))=0$ są szukanymi warunkami momentówSzablon:Odn. Wówczas warunek $f_T(\hat{\theta })=0$ implikuje

$\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{x}_t-\frac{\widehat{p^{*}}}{\widehat{q^{*}}}=0$

oraz

$\frac{1}{T}(x_t-\frac{\widehat{p^{*}}}{\widehat{q^{*}}}{)}^2-\frac{\widehat{p^{*}}}{{\widehat{q^{*}}}^2}=0$Szablon:Odn.

Wówczas przy pomocy średniej próby

${\bar{x}}_T=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{x}_t$

oraz średniego odchylenia próby

${\bar{s}}_T^2=\sum _{t=1}^T(x_t-{\bar{x}}_T{)}^2$

można zapisać

$\widehat{q^{*}}=\frac{{\bar{x}}_T}{{\bar{s}}_T^2},\widehat{p^{*}}=\frac{{\bar{x}}_T^2}{{\bar{s}}_T^2}$Szablon:Odn.

Bibliografia

• L. Mátyás, Generalized Method of Moments Estimation. Themes in Modern Econometrics, Cambridge University Press. Cambridge, 1999.