Metoda Kleina

Metoda Kleina – metoda prognozowania na podstawie szeregów czasowych. Pozwala na konstrukcję modelu uwzględniającego tendencję rozwojową oraz wahania okresowe.

Postać modelu Kleina:

$y_t=f(t)+\sum _{i=1}^{r-1}{\alpha }_i{Q}_i+{\xi }_t,$

gdzie:

$f(t)$ – funkcja trendu,

$Q_i$ – $i$-ta zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden dla fazy o numerze $i$ oraz zero dla pozostałych faz cyklu,

$r$ – liczba faz cyklu.

W sumie występuje o jeden składnik mniej, gdyż zakładamy, że funkcja trendu zawiera wyraz wolny ${\beta }_0.$ Przy $r$ składnikach sumy dodanie stałej do ${\beta }_0$ i odjęcie jej od ${\alpha }_i,i=1\dots r$ nie zmieniałoby wartości $y_t,$ jeden parametr jest więc nadmiarowy.

W szczególności dla liniowej funkcji trendu $f(t)=t\beta +{\beta }_0$ model przyjmuje postać:

$y_t=t\beta +{\beta }_0+{\alpha }_1{Q}_1+{\alpha }_2{Q}_2+\dots +{\alpha }_{r-1}{Q}_{r-1}+{\xi }_t.$

Jak widać, współczynnik ${\beta }_0$ wchodzi do sumy dla każdego $t,$ natomiast ${\alpha }_i$ tylko dla $t=i+kr,k=0,1,\dots .$

Można zmienić bazę współczynników za pomocą przekształcenia:

$\alpha {\text{'}}_0={\beta }_0,$

$\alpha {\text{'}}_i={\beta }_0+{\alpha }_i,i=1\dots r-1.$

Otrzymamy wtedy bardziej elegancką postać modelu:

$y_t=t\beta +\alpha {\text{'}}_0{Q}_0+\alpha {\text{'}}_1{Q}_1+\alpha {\text{'}}_2{Q}_2+\dots +\alpha {\text{'}}_{r-1}{Q}_{r-1}+{\xi }_t,$

czyli:

$y_t=t\beta +\alpha {\text{'}}_{tmodr}+{\xi }_t.$

Parametry modelu są zwykle estymowane metodą najmniejszych kwadratów (choć możliwe jest też zastosowanie innej metody regresji liniowej, np. regresji medianowej). Estymatory parametrów są wtedy powiązane zależnością:

$\widehat{\alpha {\text{'}}_i}=\overline{y_i}-\hat{\beta }\overline{t_i},$

gdzie:

$\widehat{\alpha {\text{'}}_i}$ – estymator parametru $\alpha {\text{'}}_i,$

$\hat{\beta }$ – estymator parametru $\beta ,$

$\overline{y_i}$ – średnia wartość zmiennej prognozowanej w $i$-tej fazie cyklu,

$\overline{t_i}$ – średnia wartość zmiennej czasowej w $i$-tej fazie cyklu.

Bibliografia

• Maria Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, s. 92.