Matryca logiczna języka zdaniowego

Matryca logiczna dla języka zdaniowego $ℒ$ sygnatury $\varsigma$ – para $ℳ=⟨𝒜,D⟩,$ gdzie $𝒜$ jest algebrą sygnatury $\varsigma ,$ zaś $D\subseteq |𝒜|.$ Algebrę $𝒜$ nazywamy algebrą matrycy $ℳ,$ wyróżniony zbiór $D$ zaś, zbiorem jej prawd. Często dla danej matrycy $ℳ,$ jej algebrę oznaczamy tym samym symbolem $ℳ,$ a zbiór jej prawd symbolem ${ℳ}^{\star }.$

Formuła $\delta$ języka $ℒ$ jest prawdziwa w $ℳ,$ jeśli $h(\delta )\in {ℳ}^{\star }$ dla dowolnego homomorfizmu $h$ algebry języka $ℒ$ w algebrę matrycy $ℳ.$

Zbiór formuł prawdziwych w $ℳ$ oznacza się symbolem $E(ℳ)$ i nazywa zawartością matrycy $ℳ.$ Zbiór formuł $X$ jest prawdziwy w $ℳ,$ jeśli $X\subseteq E(ℳ).$

Zbiór formuł $X$ języka $ℒ$ jest spełnialny w $ℳ,$ jeśli $h\stackrel{}{`}\stackrel{}{`}X\subseteq {ℳ}^{\star }$ dla pewnego homomorfizmu $h$ algebry języka $ℒ$ w algebrę matrycy $ℳ.$

Operatorem konsekwencji matrycy $ℳ$ nazywamy funkcję $\overrightarrow{ℳ}:\mathrm{\wp }\left({𝐅𝐫𝐦}_{ℒ}\right)\to {𝐅𝐫𝐦}_{ℒ}$ daną wzorem:

$\overrightarrow{ℳ}(X)=\{\delta :\underset{v:𝐏\to |ℳ|}{\bigwedge }(\hat{v}\stackrel{}{`}\stackrel{}{`}X\subseteq {ℳ}^{\star }\Rightarrow \hat{v}(\delta )\in {ℳ}^{\star })\}.$

Matryca $ℳ$ jest adekwatna dla rachunku zdaniowego $\Re ,$ jeśli $E(ℳ)={𝐂𝐧}_{\Re }(\mathrm{\varnothing }).$

Matrycą Lindenbauma dla rachunku zdaniowego $\Re$ jest matryca ${𝔏}_{\Re }=⟨{𝔄}_{ℒ},{𝐂𝐧}_{\Re }(\mathrm{\varnothing })⟩.$ Jeśli $\Re$ jest inwariantny, to matryca ta jest adekwatna dla tego rachunku.

Matryca ta jest dla rachunku $\Re$ silnie adekwanta, jeśli $\overrightarrow{ℳ}={𝐂𝐧}_{\Re }.$

W przypadku wybranych algebr, takich jak np. algebry Boole’a, Heytinga, Łukasiewicza i in., przenosimy pojęcia prawdziwości/spełnialności formuły/zbioru formuł na grunt tychże, mając na myśli odpowiedniki tych pojęć w matrycy, której algebrą jest dana algebra, a zbiorem wyróżnionym jest jednoelementowy zbiór zawierający element największy tej algebry.

Np. algebrze Heytinga $\mathscr{H}$ odpowiada matryca $⟨\mathscr{H},\{\mathrm{\top }\}⟩,$ a algebrze Łukasiewicza ${ℒ}_n-$ matryca $⟨{ℒ}_n-,\{1\}⟩.$