Macierze Reesa

Macierze Reesa – obiekty matematyczne ważne w teorii półgrup. Zostały wprowadzone przez Davida Reesa w 1940 roku. Znajdują one zastosowanie przy charakteryzacji półgrup całkowicie 0-prostych, którą daje twierdzenie Reesa.

Niezbędne pojęcia

Niech $I$ i $\mathrm{\Lambda }$ będą zbiorami oraz niech $G$ będzie grupą. Określimy półgrupę $G^0$ w następujący sposób. Niech $0\notin G.$ Oznaczamy $G^0=G\cup \{0\}$ i dla dowolnych $a,b\in G^0$ określamy działanie $\cdot$ za pomocą formuły

$a\cdot b=\{\begin{array}{cc}ab,& \text{ jeśli }a,b\in G,\\ 0,& \text{ w przeciwnym wypadku,}\end{array}$

gdzie $ab$ oznacza iloczyn $a$ przez $b$ w grupie $G.$ Parę $(G^0,\cdot )$ nazywamy grupą z zerem. Działanie $\cdot$ jest łączne, więc $G^0$ jest półgrupą. W dalszym ciągu nie będziemy rozróżniać między $\cdot$ a mnożeniem w $G.$

Dowolne przekształcenie $A:I\times \mathrm{\Lambda }⟶G^0$ nazywamy $I\times \mathrm{\Lambda }$-macierzą nad $G^0.$ Wartość pary $(i,\lambda )\in I\times \mathrm{\Lambda }$ przy przekształceniu $A$ oznaczamy symbolem $a_{i\lambda }$

Definicja

$I\times \mathrm{\Lambda }$-macierz $A$ nad grupą z zerem $G^0$ nazywamy $I\times \mathrm{\Lambda }$-macierzą Reesa nad $G^0,$ jeżeli w zbiorze $I\times \mathrm{\Lambda }$ istnieje dokładnie jedna para $(i,\lambda ),$ taka że $a_{i\lambda }=g\in G.$ Przyjmujemy oznaczenie $(g{)}_{i\lambda }=A.$

Półgrupy macierzy Reesa

Niech $P$ będzie dowolną $\mathrm{\Lambda }\times I$-macierzą nad półgrupą z zerem $G^0.$ Na zbiorze wszystkich $I\times \mathrm{\Lambda }$-macierzy Reesa nad $G^0$ definiuje się działanie $\odot$ w następujący sposób

$(g{)}_{i\lambda }\odot (h{)}_{j\mu }=(g{p}_{\lambda j}h{)}_{i\mu }$

dla dowolnych $g,h\in G,$ $i,j\in I$ i $\lambda ,\mu \in \mathrm{\Lambda }.$ Działanie $\odot$ jest łączne, zatem zbiór wszystkich $I\times \mathrm{\Lambda }$-macierzy nad Reesa $G^0$ z działaniem $\odot$ jest półgrupą. Oznaczamy ją symbolem ${ℳ}^0(G;I,\mathrm{\Lambda };P).$

Mówimy, że $\mathrm{\Lambda }\times I$-macierz $P$ jest regularna, jeżeli

• dla każdego $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ istnieje $i\in I,$ takie że $p_{\lambda i}\in G,$
• dla każdego $i\in I$ istnieje $\lambda \in \mathrm{\Lambda },$ takie że $p_{\lambda i}\in G.$

Okazuje się, że ${ℳ}^0(G;I,\mathrm{\Lambda };P)$ jest półgrupą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ jest regularna.

Bibliografia

• Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.