Macierz stochastyczna

Macierz stochastyczna – macierz kwadratowa, której elementami są nieujemne liczby rzeczywiste i w której odpowiednie sumy elementów dają 1. W zależności od tego czy sumy elementów w każdym wierszu czy w każdej kolumnie dają 1, macierz stochastyczną nazywamy odpowiednio prawą lub lewą macierzą stochastyczną. Jeśli macierz jest lewą i prawą macierzą stochastyczną, to nazywa się ją macierzą podwójnie stochastyczną.

Macierz transponowana lewej macierzy stochastycznej jest prawą macierzą stochastyczną i odwrotnie. Podobnie transpozycja macierzy zachowuje własność podwójnej stochastyczności. Każda macierz stochastyczna ma wartość własną równą 1.

Przykłady

Następująca macierz jest lewą macierzą stochastyczną:

$L=\left[\begin{array}{ccc}0,2& 0,1& 0\\ 0,3& 0,7& 0,5\\ 0,5& 0,2& 0,5\end{array}\right]$

Poniższa macierz jest prawą macierzą stochastyczną:

$R=\left[\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,2& 0,8& 0\\ 0,3& 0,3& 0,4\end{array}\right]$

Macierz S poniżej jest podwójną macierzą stochastyczną:

$S=\left[\begin{array}{ccc}0,4& 0,5& 0,1\\ 0,3& 0,4& 0,3\\ 0,3& 0,1& 0,6\end{array}\right]$