Liczba Cauchy’ego

Liczba Cauchy’ego, $\mathrm{C}\mathrm{a}$ – jedna z bezwymiarowych liczb podobieństwa używanych w mechanice płynów do opisu przepływów ściśliwych. Jej nazwa pochodzi od nazwska francuskiego matematyka Augustina Cauchy. W przypadku gdy ściśliwości płynu nie można zaniedbać, aby zachować podobieństwo dynamiczne siły bezwładności oraz sprężystości muszą być rozpatrywane łącznie. Liczba Cauchy’ego jest więc definiowana jako stosunek wartości tych sił w rozpatrywanym przepływie i może być zapisana jako:

$\mathrm{C}\mathrm{a}=\frac{\rho v^2}{K},$

gdzie:

$\rho$ = gęstość płynu (jednostka SI: kg/m³),

$v$ = lokalna prędkość płynu (jednostka SI: m/s),

$K$ = Współczynnik sprężystości objętościowej (jednostka SI: Pa).

Relacja między Liczbą Cauchy’ego i liczbą Macha

W przemianie izentropowej, liczba Cauchy’ego może być wyrażona w powiązaniu z liczbą macha. Izentropowy współczynnik sprężystości objętościowej $K_s=\gamma p,$ gdzie $\gamma$ jest wykładnikiem adiabaty, a $p$ jest ciśnieniem płynu.

Przy założeniu że płyn jest gazem doskonałym (czyli podlega równaniu Clapeyrona) otrzymamy:

$K_s=\gamma p=\gamma \rho RT=\rho a^2,$

gdzie:

$a=\sqrt{\gamma RT}$ = prędkość dźwięku (jednostka SI: m/s),

$R$ = Stała gazowa (jednostka SI: J/(kg K)),

$T$ = temperatura (jednostka SI: K).

Podstawiając $K_s$ zamiast $K$ w równaniu na $\mathrm{C}\mathrm{a},$ otrzymamy:

$\mathrm{C}\mathrm{a}=\frac{v^2}{a^2}=M^2.$

Podsumowując, liczba Cauchy’ego równa jest kwadratowi liczby Macha podczas izentropowego przepływu (przemiana izentropowa) gazu doskonałego.

Bibliografia

• B.S. Massey, J. Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7 edycja. Cheltenham: Nelson Thornes, 1998. Szablon:ISBN.