Lemat o π- i λ-układach

Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin.

Uwaga

Jeśli rodzina $𝒜$ podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }$ jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega },$ to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }.$

Dowód

1. Pokażemy, że $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$
   • Ponieważ $𝒜$ jest λ-układem:
   • $\mathrm{\Omega }\in 𝒜$
   • oraz $\mathrm{\Omega }\subset \mathrm{\Omega }\Rightarrow \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$
2. Następnie wykażemy, że $A\in 𝒜\Rightarrow \mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒜$
   • $A\in 𝒜,\mathrm{\Omega }\in 𝒜$
   • więc z własności λ-układu:
   • $A\subset \mathrm{\Omega }\Rightarrow \mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒜$
3. Pozostaje do pokazania: $A_1,A_2,\dots \in 𝒜\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in 𝒜$
   • Ustalmy dowolnie $A_1,A_2,\dots \in 𝒜$
   • Wówczas także (λ-układ): $\mathrm{\Omega }\setminus A_1,\mathrm{\Omega }\setminus A_2,\dots \in 𝒜$
   • Korzystając z własności π-układu mamy: $\bigcap _{i=1}^n(\mathrm{\Omega }\setminus A_i)\in 𝒜,n\in \mathbb{N}$
   • Ale $\bigcap _{i=1}^n(\mathrm{\Omega }\setminus A_i)=\mathrm{\Omega }\setminus \bigcup _{i=1}^n{A}_i.$ Wobec tego, również: $\mathrm{\Omega }\setminus (\mathrm{\Omega }\setminus \bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\bigcup _{i=1}^n{A}_i\in 𝒜.$
   • Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: $B_1=A_1,B_2=A_1\cup A_2,B_3=A_1\cup A_2\cup A_3,\dots$
   • Ciąg zbiorów $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) $𝒜.$ Wobec tego:

$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\in 𝒜$

Lemat

Jeśli λ-układ $ℒ$ podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }$ zawiera π-układ $\mathscr{H},$ to $ℒ$ zawiera $\sigma (\mathscr{H}),$ czyli σ-ciało generowane przez $\mathscr{H}.$

Dowód

• Zdefiniujmy: ${ℒ}_0=\bigcap \{𝒞\subset 2^{\mathrm{\Omega }}:𝒞$ jest λ-układem oraz $\mathscr{H}\subset 𝒞\}$
• $\mathscr{H}\subset {ℒ}_0$
• ${ℒ}_0$ jest λ-układem
• Pokażemy, że ${ℒ}_0$ jest także π-układem:
  • Niech ${ℒ}_1:=\{A\subset \mathrm{\Omega }:\underset{B\in \mathscr{H}}{\bigwedge }(A\cap B)\in {ℒ}_0\}$
  • $\mathscr{H}\subset {ℒ}_1$
  • ${ℒ}_1$ jest λ-układem
  • Ponieważ ${ℒ}_0$ jest najmniejszym λ-układem zawierającym $\mathscr{H}$ mamy: ${ℒ}_0\subset {ℒ}_1$
  • tzn. $\underset{A\in {ℒ}_0}{\bigwedge }\underset{B\in \mathscr{H}}{\bigwedge }(A\cap B\in {ℒ}_0)(*)$
  • Niech ${ℒ}_2:=\{B\subset \mathrm{\Omega }:\underset{A\in {ℒ}_0}{\bigwedge }(A\cap B\in {ℒ}_0)\}$
  • korzystając z $(*)$ otrzymujemy $\mathscr{H}\subset {ℒ}_2$
  • ${ℒ}_2$ jest λ-układem
  • ${ℒ}_0\subset {ℒ}_2$
  • tzn. $\underset{A\in {ℒ}_0}{\bigwedge }\underset{B\in {ℒ}_0}{\bigwedge }(A\cap B\in {ℒ}_0)$
• ${ℒ}_0$ jest więc π-układem
• Korzystając z uwagi wnioskujemy, że ${ℒ}_0$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }$ zawierającym π-układ $\mathscr{H}$
• Wobec tego $\sigma (\mathscr{H})\subset {ℒ}_0\subset ℒ◻$

Zobacz też

• klasa monotoniczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę