Lemat Schwarza

Lemat Schwarza – twierdzenie analizy zespolonej o wielu użytecznych wariantach będące jednym z najprostszych obok zasady maksimum wyników opisujących sztywność funkcji holomorficznych. Przedstawiona niżej główna wersja lematu orzeka, że dana funkcja holomorficzna zespolonego koła jednostkowego w siebie, dla której początek płaszczyzny jest punktem stałym, jest obrotem bądź „ściąga” każdy punkt do początku (zob. przekształcenie zwężające).

Twierdzenie

Niech $H^{\mathrm{\infty }}$ oznacza przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji holomorficznych określonych na kole jednostkowym $B$ na płaszczyźnie zespolonej z normą daną wzorem $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{z\in B}{\sup }|f(z)|.$

Jeżeli $f\in H^{\mathrm{\infty }}$ oraz $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽1,$ a przy tym $f(0)=0,$ to

$|f(z)|⩽|z|$

dla $z\in B$ oraz

$|f^{\prime }(0)|⩽1.$

Ponadto jeśli $|f(z)|=|z|$ dla choć jednego punktu $z\ne 0$ należącego do zbioru $B$ lub $|f^{\prime }(0)|=1,$ to istnieje stała $\lambda$ spełniająca $|\lambda |=1,$ dla której $f(z)=\lambda z.$