Lemat Rosenthala

Lemat Rosenthala – twierdzenie dotyczące wspólnej aproksymacji miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Znajduje ono zastosowania w teorii miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Udowodniony przez Haskella Rosenthala w 1970 roku lemat ma zwarty dowód podany przez Josepha Kupkę w 1974 roku, który przytoczono niżej.

Twierdzenie

Niech $\mathrm{\Gamma }$ będzie zbiorem nieskończonym oraz niech

$\{{\mu }_{\gamma }:\gamma \in \mathrm{\Gamma }\}$

będzie jednostajnie ograniczoną rodziną skończenie addytywnych miar na zbiorze potęgowym zbioru $\mathrm{\Gamma },$ tj.

$\underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{\sup }{\mu }_{\gamma }(\mathrm{\Gamma })<\mathrm{\infty }.$

Wówczas dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór $X\subseteq \mathrm{\Gamma }$ mocy równej mocy zbioru $\mathrm{\Gamma },$ że

${\mu }_{\gamma }(X\setminus \{\gamma \})<\epsilon$

dla wszelkich $\gamma \in \mathrm{\Gamma }.$

Dowód

Gdyby twierdzenie było fałszywe, to istniałaby taka liczba $\epsilon >0,$ dla której żaden podzbiór $X\subseteq \mathrm{\Gamma }$ mocy równej mocy zbioru $\mathrm{\Gamma }$ nie czyniłby zadość tezie twierdzenia.

Ponieważ zbiory $\mathrm{\Gamma }$ i $\mathrm{\Gamma }\times \mathrm{\Gamma }$ są równoliczne (na mocy twierdzenia Hessenberga równoważnego aksjomatowi wyboru), zbiór $\mathrm{\Gamma }$ można przedstawić w postaci

$\mathrm{\Gamma }=\bigcup _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{X}_{\gamma },$

gdzie rodzina

$\{X_{\gamma }:\gamma \in \mathrm{\Gamma }\}$

składa się z parami rozłącznych podzbiorów $\mathrm{\Gamma }$ mocy równej mocy zbioru $\mathrm{\Gamma }.$ Istnieje zatem takie ${\gamma }_0\in \mathrm{\Gamma },$ że

${\mu }_{\gamma }(\mathrm{\Gamma }\setminus X_{{\gamma }_0})⩾\epsilon .$

Istotnie, w przeciwnym przypadku można by dla każdego $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ wybrać $x_{\gamma }\in X_{\gamma }$ w taki sposób, by

${\mu }_{x_{\gamma }}(\mathrm{\Gamma }\setminus X_{\gamma })<\epsilon ,$

wbrew założeniu.

Zastępując zbiór $\mathrm{\Gamma }$ zbiorem $X_{{\gamma }_0}$ i iterując ten proces w analogiczny sposób, otrzymałoby się zbiory

$X_{{\gamma }_1},X_{{\gamma }_2},X_{{\gamma }_3},\dots ,$

co po skończenie wielu krokach doprowadziłoby to do sprzeczności z jednostajną ograniczonością rozważanej rodziny miar.

Rzeczywiście, zbiory

$\mathrm{\Gamma }\setminus X_{{\gamma }_0},X_{{\gamma }_0}\setminus X_{{\gamma }_1},X_{{\gamma }_1}\setminus X_{{\gamma }_2},\dots$

są parami rozłączne oraz mają miary co najmniej $\epsilon .$ Z addytywności miar, po skończeniu wielu krokach miara ich sumy przekroczyłaby

$\underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{\sup }{\mu }_{\gamma }(\mathrm{\Gamma }).$